Wie wahrscheinlich ist es, mit 2 Würfeln eine ungerade Augensumme zu würfeln.

Ich (@neuwirthe) poste regelmäßig (unter dem hashtag #mathepuzzle) mathematische Rätselaufgaben.
Vor einigen Tagen war das folgende Aufgabe:

Sie würfeln mit 2 Würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine ungerade Summe zu würfeln.

Ich habe das für eine ganz einfache Aufgabe gehalten, aber zu meiner Überraschung hat sich gezeigt, dass die Aufgabe für viele meiner Follower schwerer war als ich erwartet habe.

Deshalb hier ein paar Lösungsvarianten, die von verschiedenem Vorwissen und verschiedenartiger Intuition ausgehen.

Die wichtigste Einsicht bei dem Beispiel ist eine einfache mathematische Tatsache:
Wenn eine Summe zweier Zahlen ungerade ist, dann muss eine der beiden gerade und eine der beiden ungerade sein, weil sowohl die Summe zweier gerader als auch die Summe zweier ungerader Zahlen eine gerade Zahl ergibt.

Es gibt mehrerer Arten, die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen.

1. Vollständiges Abzählen

Wir stellen uns jetzt vor, dass wir zuerst mit einem roten und dann mit einem grünen Würfel würfeln.

Von den insgesamt 36 möglichen Kombinationen haben also 18 eine ungerade Summe, daher ist die Wahrscheinlichkeit für eine ungerade Summe $\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$

2. Systematisches Abzählen

Wir brauchen entweder eine Kombination UG oder eine Kombination GU

Für U, U,G und G gibt es jeweils 3 Möglichkeiten. Jedes U kann mit jedem G kombiniert werden, also gibt es $3\cdot 3=9$ Möglichkeiten für UG. Ebenso kann jedes G mit jedem U kombiniert werden, also gibt es auch $3\cdot 3=9$ Möglichkeiten für GU.

Für UG und GU zusammengenommen erhalten wir daher eine Wahrscheinlichkeit von $\frac{9+9}{36}=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$

3. Multiplikation von Anteilen und Wahrscheinlichkeiten

U, U,G und G sind jeweils die Hälfte aller roten beziehungsweise grünen Zahlen.
Für UG kombinieren wir also die Hälfte der roten mit der Hälfte der grünen Zahlen. So erhalten wir $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, also ein Viertel aller Möglichkeiten.
Für GU kombinieren wir ebenso jeweils die die Hälfte der roten mit der Hälfte der grünen Zahlen und erhalten daher ebenso $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, also ein Viertel aller Möglichkeiten. Zusammengenommen ist das daher $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ und damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$

3. Schrittweise Wahrscheinlichkeiten

Wenn der rote Würfel gefallen ist, kann das Ergebnis U oder G sein.
In beiden Fällen ist die Wahrscheinlichkeit, dass der grüne Würfel die Summe auf eine ungerade Zahl ergänzt, $\frac{1}{2}$. Weil das in beiden Fällen $\frac{1}{2}$ ist, ist es auch insgesamt $\frac{1}{2}$.

Wenn man diese Argumentation zuspitzt, dann sieht man, dass man die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$ immer noch erhält, wenn einer der beiden Würfel unfair und der andere fair ist.