Ein #mathepuzzle

und was man daraus alles lernen kann

Ich poste (als @neuwirthe) auf Twitter regelmäßig mathematische Puzzles unter den hashtag #mathepuzzle. Unlängst hab ich folgendes gepostet:

Fülle die 4 Felder so aus, dass alle markierten Rechnungen stimmen.
Viele Leser haben die richtige Lösung gefunden. Wie kann man die Lösung intelligent suchen?

Probieren wir es mit Excel (oder LibreOffice oder einem anderen tabellenkalkulationsprogramm) Die Felder sind farbig markiert, damit wir leichter darüber reden können. Die 4 Randsummen sind die Vorgaben, wir wollen, dass Zeilen- und Spaltensummen diese Werte ergeben. Hinter den 0en stecken Formeln, die die jeweils beiden Zellen (entweder darüber oder links daneben) addieren. Man sieht sofort, dass in den beiden blauen Feldern dasselbe stehen muss, da ja beide Zahlen jeweils zur orangen Zahl addiert 8 ergeben müssen.
In beiden Zellen können wir daher die Formel „8 – orange Zelle” eingeben.
In der lila Zelle kommt die Formel „13 – blaue Zelle darüber“.
Wenn wir das machen, dann erhalten wir Folgendes:

3 unserer 4 Summen sind also schon richtig. Wir können jetzt im orangen Feld verschiedene Zahlen ausprobieren und so eine Lösung suchen. Wenn wir ins orange Feld 2 eingeben erhalten wir im grünen Feld 1, orange 3 ergibt grün 3, orange 4 ergibt grün 5, orange 5 ergibt grün 7 usw. Jeweils 1 mehr im orangen Feld ergibt also 2 mehr im grünen Feld. Wir hätten gerne 6 im grünen Feld. 4 orange ergibt zu wenig, 5 orange ergibt zu viel, daher versuchen wir es mit 4.5

4.5 ist also die Lösung. Wir hätten auch die Zielwertsuche von Excel verwenden und Excel die Aufgabe Ändere den Inhalt des orangen Feldes so, dass im grünen Feld 6 steht. stellen können. Es geht auch „klassischer“. Nennen wir den Wert im orangen Feld $x$.
Dann muss in den beiden blauen Feldern $8-x$ stehen.
Im lila Feld steht dann $13-(8-x)=5+x$. Der Wert im grünen Summenfeld ist daher $(5+x)-(8-x)=2x-3$. Dieser Wert soll 6 sein, also lautet die Gleichung, die wir lösen müssen, $2x-3=6$ und die Lösung ist $x=\frac{9}{2}=4.5$. Wir können dieses Beispiel auch mit Mitteln der (etwas) höheren Mathematik angehen 😉

Wir benennen die Feldinhalte als Variable und stellen ein Gleichungssystem mit 4 Unbekannten auf: $$
\begin{split}
&1 x_1 + 1 x_2 + 0 x_3 &+ &0 x_4 &= 8 \\  
&0 x_1 + 0 x_2 + 1 x_3 &- &1 x_4 &= 6 \\
&1 x_1 + 0 x_2 + 1 x_3 & + &0 x_4 &= 13 \\
&0 x_1 + 1 x_2 + 0 x_3 & + &1 x_4 &= 8 
\end{split}
$$
Diese Schreibweise alleine hilft noch nicht, mehr herauszufinden. In der Mathematik gibts noch eine Kurzschreibweise, die es uns erspart, die Variablen so oft anzuschreiben: $$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 8 \\ 6 \\ 13 \\ 8 \end{pmatrix}
$$ In der Mathematik gibt es Hilfsmittel, zu entscheiden, ob ein derartiges Gleichungssystem immer lösbar ist, auch dann, wenn man die Zahlen auf den rechten Seite der Gleichungszeichen beliebig ändert.
Wenn wir das entsprechend aufschreiben sieht es so aus:


$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \\ r_4 \end{pmatrix}
$$ Mit mathematischen Hilfsmitteln erhalten wir dann für beliebige rechte Seiten die Lösung $$
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & -1 \\
0 & -1 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & 1 & -1 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}r_1 \\ r_2 \\ r_3 \\ r_4 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}
$$ Wenn wir unsere Zeilen- und Spaltensumme $r_1=8$, $r_2=6$, $r_3=13$ und $r_4=6$ einsetzten dann erhalten wir die Lösung $x_1=\frac{7}{2}$, $x_2=\frac{9}{2}$, $x_3=\frac{19}{2}$ und $x_4=\frac{7}{2}$. Der Zweig der Mathematik, der Lösbarkeit und Lösungsmethoden  solcher Gleichungssysteme untersucht, heißt Lineare Algebra.