Wie wahrscheinlich ist es, mit 2 Würfeln eine ungerade Augensumme zu würfeln.
Ich (@neuwirthe) poste regelmäßig (unter dem hashtag #mathepuzzle) mathematische Rätselaufgaben.
Vor einigen Tagen war das folgende Aufgabe:
Sie würfeln mit 2 Würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine ungerade Summe zu würfeln.
Ich habe das für eine ganz einfache Aufgabe gehalten, aber zu meiner Überraschung hat sich gezeigt, dass die Aufgabe für viele meiner Follower schwerer war als ich erwartet habe.
Deshalb hier ein paar Lösungsvarianten, die von verschiedenem Vorwissen und verschiedenartiger Intuition ausgehen.
Die wichtigste Einsicht bei dem Beispiel ist eine einfache mathematische Tatsache:
Wenn eine Summe zweier Zahlen ungerade ist, dann muss eine der beiden gerade und eine der beiden ungerade sein, weil sowohl die Summe zweier gerader als auch die Summe zweier ungerader Zahlen eine gerade Zahl ergibt.
Es gibt mehrerer Arten, die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen.
1. Vollständiges Abzählen
Wir stellen uns jetzt vor, dass wir zuerst mit einem roten und dann mit einem grünen Würfel würfeln.
Von den insgesamt 36 möglichen Kombinationen haben also 18 eine ungerade Summe, daher ist die Wahrscheinlichkeit für eine ungerade Summe
2. Systematisches Abzählen
Wir brauchen entweder eine Kombination UG oder eine Kombination GU
Für U, U,G und G gibt es jeweils 3 Möglichkeiten. Jedes U kann mit jedem G kombiniert werden, also gibt es
Für UG und GU zusammengenommen erhalten wir daher eine Wahrscheinlichkeit von
3. Multiplikation von Anteilen und Wahrscheinlichkeiten
U, U,G und G sind jeweils die Hälfte aller roten beziehungsweise grünen Zahlen.
Für UG kombinieren wir also die Hälfte der roten mit der Hälfte der grünen Zahlen. So erhalten wir
Für GU kombinieren wir ebenso jeweils die die Hälfte der roten mit der Hälfte der grünen Zahlen und erhalten daher ebenso
3. Schrittweise Wahrscheinlichkeiten
Wenn der rote Würfel gefallen ist, kann das Ergebnis U oder G sein.
In beiden Fällen ist die Wahrscheinlichkeit, dass der grüne Würfel die Summe auf eine ungerade Zahl ergänzt,
Wenn man diese Argumentation zuspitzt, dann sieht man, dass man die Wahrscheinlichkeit