Geschwindigkeitslimits und Aufprallgeschwindigkeit
Bisher war die erlaube Höchstgeschwindigkeit auf Autobahnen 130 km/h.
Seit 1. August gibt es Teststrecken, auf denen 140 km/h erlaubt sind.
Höhere Geschwindigkeiten haben längere Bremswege zur Folge.
Wenn also beispielsweise ein Auto mit 130 km/h bei einer Vollbremsung nach 101.3 m zum Stillstand kommt, braucht ein Auto mit 140 km/h 114.5m bis zum Stillstand.
Nach 101.3 m – also dort wo das 130-km/h-Auto schon stehen bleibt – hat das 140-km/h-Auto noch eine Geschwindtigkeit von 58.5 km/h.
Die folgende Tabelle erlaubt es, Autos mit zwei Geschwindigkeiten unter sonst gleichen Bedingungen zu vergleichen und zu berechnen, welche Geschwindigkeit das schnellere Auto an der Stelle noch hat, an dem das langsamere Auto schon steht.
Zur Berechnung braucht man 2 Größen:
- die Reaktionszeit, die wir mit 1 Sekunde annehmen (sie variiert je nach Fahrer zwischen 0.5 und 2 Sekunden)
und - die Bremsverzögerung (bei Vollbremsung), die wir mit 10 m/s² annehmen. Das bedeutet, dass sich beim Bremsen die Geschwindigkeit des Autos pro Sekunde um 10 m/s (oder 36 km/h) verringert.
Sie können die Werte in den gelben Zellen ändern und so verschiedene Varianten ausprobieren.
Sie können zum Beispiel die Geschwindigkeit des schnelleren Autos auf 159 km/h setzen. Bei dieser Geschwindigkeit wird auf der Teststrecke in Oberösterreich aufgrund der Messtoleranzen noch nicht gestraft.
Die berechnetet äquivalente Fallhöhe ist jene Höhe, mit der ein herunterfallender Gegenstand mit derselben Geschwindigkeit wie die Aufprallgeschwindigkeit am Boden aufschlagen würde.
Die Tabelle erlaubt auch weitere Berechnungen. Man kann im gelben Feld unter dem Text „Strecke“ links unten eine beliebige Strecke eingeben und berechnen, welche Geschwindigkeiten die beiden Autos nach dieser Strecke haben.
Detaillierte Informationen zu den Berechnungen (inklusive der mathematischen Herleitungen) gibts in einem weiteren Blogartikel.
Münzsummenproblem
Ich habe unlängst auf twitter in meiner Serie #mathepuzzle folgende Aufgabe gestellt:
Auf wieviele Arten kann man 1€ aus Centmünzen zusammenstellen (wenn ausreichend viele Centmünzen aller verfügbaren Werte verfügbar sind).
Jetzt habe ich die Lösung genauer beschrieben.
Welche Mathematik sollen Maturanten beherrschen?
Mathematik-Professoren der TU Wien fordern gerade, den Gebrauch von Computerwerkzeugen bei der Matura einzuschränken, weil das dazu führe, dass die Studierenden weniger “mathematisch-handwerkliche” Fähigkeiten als früher mitbringen. (https://www.tuwien.ac.at/aktuelles/news_detail/article/126023/)
Dazu ein paar Anmerkungen:
Erst bei der heurigen Matura war es erstmals vorgeschrieben, dass solche Werkzeuge für alle Prüflinge zur Verfügung stehen müssen. Diese Schüler beginnen erst im Herbst zu studieren. Alle Maturanten betreffende aussagekräftige Daten über diese Arbeitshypothese scheint es also noch nicht viele zu geben.
Interessant wäre es, die Ergebnisse früherer (Zentral-)maturen in Hinblick auf den Einfluss von Computerwerkzeugen auf die Ergebnisse zu untersuchen. Ich kenne keine derartigen Untersuchungen.
Interessant wäre es auch, wenn die TU bei ihren Studierenden erhebt, in welchem Umfang sie die Computerwerkzeuge im Mathematikunterricht verwendet haben und welchen Einfluss das auf den Studienerfolg hatte. Erst mit derartigen Erhebungen kann man dann auf der Grundlage von Tatsachen ernsthaft diskutieren.
Als Beitrag zur Diskussion empfehle ich den Blog von Prof. Keith Devlin (Stanford) (http://devlinsangle.blogspot.com), aus dem folgendes Zitat stammt:
Since the turn of the new Millennium, I doubt if anyone making professional use of mathematics in their job, or indeed any adult using mathematics in their everyday lives, has taken out paper-and-pencil and followed a classical algorithm to add, subtract, multiply or divide numbers in an array of real-life size, or perform complex algebraic reasoning to solve systems of equations, or solve problems using calculus, or any other established mathematical procedure. Not only would it now be a waste of valuable human time and energy doing something a cheap machine can do in far less time with no possibility of error, but many of the problems that people encounter in their careers and lives have simply too much data for the human mind to handle. Those same digital tools that have made the execution of mathematical procedures unnecessary have also come to dominate and drive our world, so many of the problems that require mathematics in their solution are now simply beyond human capacity. That’s why Amazon Web Services has become such a behemoth for data storage and processing.
Als weiteren Diskussionsbeitrag empfehle ich die Geschichte über das Säbelzahntigercurriculum:
https://cse101.cse.msu.edu/visitors/saber.php bzw. die deutsche Übersetzung http://wwwuser.gwdg.de/~hhaller/nfaust.htm
Da geht es darum, dass viele Jahrzente lang die überlebenswichtige Kunst der Säbelzahntigerjagd gelehrt wird. Dann aber stirbt der Säbelzahntiger aus und die Säbelzahntigerjagdlehrer erklären, dass die Jagd an sich ja gar nicht der wichtigste Lehrinhalt gewesen sei, sondern dass es um viel grundlegendere und zeitlose Werte gegangen sein.
1. Fußnote: Wenn gerade an einer Technischen Universität technische Hilfsmittel aus der Lehre verbannt werden, dann ist das ein sehr bemerkenswerter Sachverhalt.
2 Fußnote: Bei der Behauptung, man könne Mathematik nur lernen, wenn man es eine Zeitlang ohne Computer mache, fällt mir als Analogie ein, dass man dann Schifahren auch nur lernen könnte, wenn man zunächst einmal nur Schi ohne Stahlkanten verwendet.
Die Ameise auf dem Gummiband, oder eine seltsame Mathematikaufgabe
Als eines meiner #mathepuzzle auf Twitter gab es folgendes:
Eine Ameise sitzt am Ende eines 1 m langen Gummibandes und krabbelt mit einer Geschwindigkeit von 1 cm/s zum anderen Ende. Das Gummiband wird aber pro Sekunde um 1 m gedehnt. Erreicht die Ameise je das andere Ende des Gummibandes?
Erste Erklärung:
Wir modifiziern das Problem ein bisschen.
Jede volle Sekunde wird das Gummiband mit einem Ruck um 1 m gestreckt, das erste Mal schon, wenn die Ameise loskrabbelt. Das ist für die Ameise ein Nachteil, das Band früher länger ist.
Außerdem drücken wir die Position der Ameise als Anteil an der Gesamtlänge des Gummibandes aus.
Das Band wird also auf 2 m gestreckt, dann krabbelt die Ameise 1 cm, das ist $\frac{1}{200}$ der Bandlänge. also hat sie die Position $\frac{1}{200}$ der Länge des Bandes. Dann wird das Band auf 3 m gestreckt, die Ameise behält die relative Position und krabbelt wieder 1 cm, also $\frac{1}{300}$der Bandlänge und hat die relative Position $\frac{1}{200}+\frac{1}{300}$. Dann wird das Band auf 4 m gestreckt, die Ameise behält die relative Position und krabbelt wieder 1 cm, also $\frac{1}{400}$ der Bandlänge und hat die relative Position
$\frac{1}{200}+\frac{1}{200}+\frac{1}{400}$.
Nach n Schritten hat die Ameise die relative Position
$\frac{1}{100}(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ \ldots + \frac{1}{n})$
Diese Summe wird beliebig groß, also größer als jede vorgegebene Zahl, und daher kann die Ameise das Ende erreichen.
Eine andere Erklärung:
Wir bleiben bei der Modifikation, dass das Band jede volle Sekunde
ruckartig um 1 m gestreckt wird.
Wir machen am Gummiband alle 5 mm eine Markierung. Da das ganze ursprünglich 1 m lange Band jede Sekunde um 1 m länger wird, wird jedes Stück zwischen 2 Markierungen jede Sekunde um 5 mm länger.
Nehmen wir jetzt eines dieser (anfänglich) 5 mm langen Stücke her, z.B. eines, das gerade 100mm lang ist. Wenn die Ameise den Anfang dieses Stücks erreicht, dann wird das Stück einmal auf 105 mm verlängert. Dann krabbelt die Ameise 10 mm. Bleiben 95 mm. Dann wird wieder verlängert, die 95 mm werden 100 mm (sogar ein bisschen weniger, weil ein Teil der zusätzlichen 5 mm auch das 10-mm-Stück hinter der Ameise verlängert). In der nächsten Sekunde geht die Ameise wieder 10 mm, bleiben 90 mm, die werden auf 95 verlängert usw. Die Ameise hat nach 20 Sekunden das anfänglich auf 100 mm gestreckte 5-mm-Stück (das inzwischen 200 mm lang ist) hinter sich. Jedes beliebig gedehnte ursprüngliche 5 mm lange Stück wird also in endlicher Zeit absolviert. es gibt 200 solcher Stücke, also muss man die 200 Zeiten addieren, erhält eine Summe uns sieht, dass es sich ausgeht.
Ein Excel-Workbook, in dem das durchgerechnet wird, gibt es zum Herunterladen.
Die klassische mathematische Lösung
Wenn man genau wissen will, wie lange es unter den originalen Bedingungen dauert, muss man zu höherer Mathematik (Differentialgleichungen) Zuflucht nehmen.
Jetzt wirs also mathematisch anspruchsvoller!
Die Geschwindigkeit der Ameise setzt sich aus 2 Komponenten zusammen: 1 cm/s kommt vom Krabbeln, dazu kommt aber noch, dass die Ameise beim Dehnen des Gummibandes mitgenommen wird.
Wenn die Ameise also schon 1/4 des Bandes absolviert hat, ist ihre „Bandgeschwindigkeit“ 1/4 davon.
Das Band wird mit 100 cm/s gedehnt, hat also zum Zeitpunkt $t$ die Länge $100+100 t=100(1+t)$.
Ist die Ameise zum Zeitpunkt t an der Stelle x(t), dann hat sie die Bandgeschwindigkeit $100\frac{x(t)}{100(1+t)}=\frac{x(t)}{1+t}$
Die Geschwindigkeit ist die erste Ableitung des Ortsfunktion x(t), also gilt $x'(t)=1+\frac{x(t)}{1+t}$.
So etwas löst man heutzutage mit einem Computer-Algebra-Programm, zum Beispiel mit dem kostenfrei verfügbaren Maxima (bzw. wxMaxima), erhältlich von maxima.sourceforge.net/.
Hier ist der Code zur Lösung:
sol : ode2('diff(x,t)=1+x/(1+t),x,t);
ic1(sol,t=0,x=0);
Wir erhalten die Lösung $x(t)=(t+1)\log(t+1)$
Diese Lösung der Differentialgleichung ist noch nicht die Antwort auf unser Problem,
sie gibt ja nur an, wie weit die Ameise zur Zeit t gekommen ist.
Wir überprüfen also noch, ob es einen Zeipunkt gibt, an dem die Wegstrecke der Amseise
mit der Bandlänge gleich ist. Das machen wir natürlich wieder mit Maxima.
Hier ist der Code zur Lösung:
solve((t+1)*log(t+1)=100*(1+t),t);
Wir erhalten die Lösungen
[t=%e^100-1,t=-1]
Es dauert also $e^{100}-1$=2.6*10^47 Sekunden, dann hat die Ameise das Bandende erreicht.
Wie lange ist das in anderen Zeiteinheiten?
1 Jahr hat 3.2*10^7 Sekunden, also dauert das 8.1*10^35 Jahre.
Das Alter des Universums wird derzeit auf 1.4*10^10 Jahre geschätzt, also braucht die Ameise 5.8*10^25 mal das Alter des Universums.
Und wie lange ist das Band dann? Rechnet man $100(1+t)$ für $t=e^{100}$ aus, dann ergibt das 2.6*10^45 cm = 2.6*10^40 km.
Der Durchmesser der Milchstraße ist ungefähr 10^5 Lichtjahre oder 9.6*10^12 km.
Wenn die Ameise also das Ende des Gummibands erreicht, dann ist das Gummiband so lange wie 2.8*10^28 mal der Milchstraßendurchmesser.
Dauert also, und braucht ziemlich viel Platz.
Meine Überlegungen sind die Aufbereitung dieses Artikels in der englischen Wikipedia.
Diese Aufgabe hat übrigens eine Parallele in der Astrophysik: Man ersetze die Ameise durch ein Photon. Wenn sich das Universum mit fester Geschwindigkeit ausdehnt, dann erreicht uns Licht auch von den entferntesten Galaxien. Wenn die Ausdehnungsgeschwindigkeit zunimmt, dann kann es sein, dass es Galaxien gibt, deren Licht uns nie erreicht.
Nachtrag für Nerds:
Der folgende QR-Code führt zu einer Website, die den Code aus dem Beitrag ausführt.
Es gibt auch eine Excel-Arbeitsmappe, in der man mit der Bandgeschwindigkeit experimentieren kann.
Ein bisschen Mathematik. Gesucht: Kürzestes Straßennetz
In meinen nahezu täglich erscheinenden #mathepuzzle(s) auf Twitter gabs gestern folgende Aufgabe (leicht modifiziert):
4 Orte bilden die Eckpunkte eines Quadrats.
Die Gegend ist vollkommen flach und nicht bewachsen (stellen sie sich zum Beispiel eine Gegend in Arizona vor).
Es soll eine Straßennetz angelegt werden, auf dem man von jedem Ort aus
jeden anderen erreichen kann. Wie kann man das so machen, dass die
Länge aller Straßen addiert möglichst klein ist?
Eine von einigen meiner Follower vorgeschlagene Lösung ist ein X:
Diese Grafik ist dynamisch, man kann den grünen Punkt mit der Maus bewegen. Wenn man das tut, dann kommt ein roter Punkt zum Vorschein. Den kann man auch bewegen.
Wenn man die beiden Punkte verschiebt, dann stellt man fest, dass es bessere Lösungen des Problem gibt, insbesondere diese:
Auch hier kann man den roten und den grünen Punkt verschieben.
Klickt man auf den gerundeten Doppelpfeil in der oberen rechten Ecke, dann kann man den Ausgangszustand der Grafik(en) wiederherstellen.
Wie können wir nachweisen, dass das die Lösung für das kürzeste Straßennetz ist?
Es ist aufwändig und anspruchsvoll zu zeigen, dass die beste Lösung zwei „Zwischenpunkte“ haben muss. Nehmen wir das einmal als gesichert an. Der Rest der Überlegungen geht so:
Wir zeichnen Ellipsen durch je 2 Eckpunkte und einen Zwischenpunkt.
Bewegt man den roten oder den grünen Punkt auf seiner Ellipse, dann bleibt die Summe der Abstände von seinen beiden Quadrateckpunkten gleich. Der Abstand zum andern Zwischenpunkt ändert sich. Am kleinsten wird der Abstand zwischen den beiden Zwischenpunkten, wenn beide auf der senkrechten Mittellinie des (gedachten) Quadrats liegen.
Das gilt auch dann, wenn die Ellipsen verschieden groß sind, wenn also der rote Punkt von seinen beiden Eckpunkten in Summe nicht gleich weit entfernt ist wie der grüne Punkt von seinen beiden Eckpunkten.
Jetzt fügen wir noch einen Hilfspunkt ein
und berechnen die Summe der Wegstrecken im oberen System (oranger Punkt, roter Punkt, zwei blaue Punkte) und im unteren System (oranger Punkt, grüner Punkt, zwei blaue Punkte)
Wenn eines der beiden Teilsysteme eine kleinere Wegstrecke als die andere ergibt, dann kann man das andere System so ändern, dass sie dieselbe Streckensumme ergibt. Man muss dazu nur den Zwischenpunkt dieses Systems so verschieben, dass er das Spiegelbild des „besseren“ Punktes um die waagrechte Mittelachse des Quadrats ist.
Zwischenbilanz: wenn wir das untere System (oranger Punkt, grüner Punkt, zwei blaue Punkte) durch Verschieben des grünen Punkts so einstellen, dass es die kleinste Streckensumme ergibt, dann haben wir auch die beste Lösung für das Gesamtsystem gefunden, weil wir ja den besten roten Punkt durch Spiegelung des besten grünen Punkts erhalten.
Außerdem wissen wir schon, dass der beste grüne Punkt auf der senkrechten Mittelachse des Quadrats liegen muss.
Das geänderte Problem, das wir lösen müssen, sieht also so aus:
Bestimme $x$ so, dass die Summe der 3 Wegstrecken kleinstmöglich wird. Wir sehen in der Grafik zwei rechtwinkelige Dreiecke, daher ist die Summe der 3 Wegstrecken $ \sqrt{(\frac{1}{2})^2+x^2} + \sqrt{(\frac{1}{2})^2+x^2} + (1-x) = 2\sqrt{(\frac{1}{2})^2+x^2} + (\frac{1}{2}-x)$
Das ist eine klassische Extremwertaufgabe. Die kann man ganz altmodisch mit Papier und Stift lösen. Man muss dazu die erste Ableitung bilden, die gleich 0 setzen und diese Gleichung lösen.
Man kann aber auch zur Website Wolfram Alpha gehen und dort die Aufgabe
solve derivative of 2*sqrt((1/2)^2+x^2)+(1/2)-x=0 for x
eingeben und erhält die Lösung $x=\frac{1}{2\sqrt{3}}$
In der Grafik, in der wir genau diese Lösung einzeichnen, markieren wir ein rechtwinkeliges Dreieck:
Weil die Strecke $x$ die Länge $\frac{1}{2\sqrt{3}}$ und Wegstrecke vom grünen Punkt zum Quadratpunkt rechts unten die Länge
$\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2\sqrt{3}})^2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
hat, ist die Wegstrecke vom grünen Punkt nach rechts unten doppelt so lange wie $x$. Damit ist diese Figur eine halbes gleichseitiges Dreieck, und der Winkel zwischen diesen beiden Strecken 60º. Damit ist der Winkel zwischen den beiden schrägen Wegstrecken 120º und wir haben gezeigt, wie die Lösung für das kürzeste Straßennetzwerk dieser Konfiguration aussieht.
Wie man das Problem mit alter analoger Technik lösen kann (Seifenlösung) zeigt ein YouTube-Video, auf das mich mein Twitter-Follower @behackl hingewiesen hat.