Ein #mathepuzzle
und was man daraus alles lernen kann
Ich poste (als @neuwirthe) auf Twitter regelmäßig mathematische Puzzles unter den hashtag #mathepuzzle. Unlängst hab ich folgendes gepostet:
Viele Leser haben die richtige Lösung gefunden. Wie kann man die Lösung intelligent suchen?
In beiden Zellen können wir daher die Formel „8 – orange Zelle” eingeben.
In der lila Zelle kommt die Formel „13 – blaue Zelle darüber“.
Wenn wir das machen, dann erhalten wir Folgendes:
Dann muss in den beiden blauen Feldern $8-x$ stehen.
Im lila Feld steht dann $13-(8-x)=5+x$. Der Wert im grünen Summenfeld ist daher $(5+x)-(8-x)=2x-3$. Dieser Wert soll 6 sein, also lautet die Gleichung, die wir lösen müssen, $2x-3=6$ und die Lösung ist $x=\frac{9}{2}=4.5$. Wir können dieses Beispiel auch mit Mitteln der (etwas) höheren Mathematik angehen 😉
\begin{split}
&1 x_1 + 1 x_2 + 0 x_3 &+ &0 x_4 &= 8 \\
&0 x_1 + 0 x_2 + 1 x_3 &- &1 x_4 &= 6 \\
&1 x_1 + 0 x_2 + 1 x_3 & + &0 x_4 &= 13 \\
&0 x_1 + 1 x_2 + 0 x_3 & + &1 x_4 &= 8
\end{split}
$$
Diese Schreibweise alleine hilft noch nicht, mehr herauszufinden. In der Mathematik gibts noch eine Kurzschreibweise, die es uns erspart, die Variablen so oft anzuschreiben: $$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 8 \\ 6 \\ 13 \\ 8 \end{pmatrix}
$$ In der Mathematik gibt es Hilfsmittel, zu entscheiden, ob ein derartiges Gleichungssystem immer lösbar ist, auch dann, wenn man die Zahlen auf den rechten Seite der Gleichungszeichen beliebig ändert.
Wenn wir das entsprechend aufschreiben sieht es so aus:
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \\ r_4 \end{pmatrix}
$$ Mit mathematischen Hilfsmitteln erhalten wir dann für beliebige rechte Seiten die Lösung $$
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & -1 \\
0 & -1 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & 1 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}r_1 \\ r_2 \\ r_3 \\ r_4 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}
$$ Wenn wir unsere Zeilen- und Spaltensumme $r_1=8$, $r_2=6$, $r_3=13$ und $r_4=6$ einsetzten dann erhalten wir die Lösung $x_1=\frac{7}{2}$, $x_2=\frac{9}{2}$, $x_3=\frac{19}{2}$ und $x_4=\frac{7}{2}$. Der Zweig der Mathematik, der Lösbarkeit und Lösungsmethoden solcher Gleichungssysteme untersucht, heißt Lineare Algebra.
7-fach-Jackpot im Lotto: Wie wahrscheinlich ist so etwas?
Wir haben das erste Mal seit es das Lotto 6 aus 45 gibt, also seit September 1986, einen 7-fachen Jackpot.
Es gab bisher 2784 Spielrunden.
Man kann fragen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass bei so vielen Lottorunden 7x hintereinander keine Spieler die 6 Richtigen tippt.
Es gibt allerdings keine einfache Antwort auf diese Frage.
Um die Wahrscheinlichkeit eines Jackpots auszurechnen braucht eine Annahme und eine Zahl.
Die Annahme lautet, dass die Spieler alle möglichen Tipps mit gleicher Wahrscheinlichkeit setzen. Das ist aber nicht der Fall, weil Zahlen über 31 seltener gesetzt werden, weil diese Zahlen keinem Datum (z.B. einem Geburtstag) entsprechen.
Die Zahl, die wir brauchen, ist die Zahl der in eine Runde abgegebenen Tipps. Diese Zahl schwankt bei 6 aus 45.
Wäre die Zahl der abgegebenen Tipps pro Runde für alle Runden gleich, dann könnte man die Wahrscheinlichkeit für einzelne Jackpotrunde einfach ausrechnen.
Die Zahl der Tipps pro Runde schwankt aber seit Bestehen des Lottos, und zwar zwischen 2.6 Millionen und 52 Millionen, also ganz beträchtlich.
Bei Einführung von 6 aus 45 gab es nur eine Ziehung pro Woche, und zwar am Sonntag. Seit September 1997 gibt es jede Woche 2 Ziehungen pro Woche, am Sonntag und am Mittwoch. Im Schnitt wurden in den Sonntagsziehungen bis September 1997 jeweils 16 Millionen Tipps abgegeben, danach in Mittwochrunden 6 und in Sonntagsrunden 7 Millionen Tipps.
Typischerweise werden in Jackpotrunden mehr Tipps als in „normalen“ Runden abgegeben. Allerdings sind die entsprechenden Zahlen für die alten und die neuen Sonntagsziehungen und die Mittwochsziehungen merkbar verschieden. Bis September 1997 wurden in Normalrunden im Schnitt 14.3 und in Jackpotrunden 21.8 Tipps abgegeben. Bei den Sonntagsrunden nach September 1997 wurden in Normalrunden 5.9 und in Jackpotrunden 8.4 Millionen Tipps angegeben, in Mittwochrunden 4.5 bzw. 7.7 Millionen Tipps.
Wir können die Wahrscheinlichekt für 7 oder mehr Jackpots hintereinander genaugenommen nur berechnen, wenn die Zahl der Tipps pro Runde gleich ist. Das ist bei uns nicht der Fall. Seit September 1997 wurden durchschnittlich 6.6 Millionen Tipps pro Runde abgegeben.
Wenn wir mit dieser Zahl von Tipps die Wahrscheinlichkeit für einen Jackpot errechnen, dann bekommen wir
$$
\left(1-\frac{1}{\binom{45}{6}}\right)^{6600000}=\left(1-\frac{1}{8145060}\right)^{6600000}=0.450
$$
Rechnen wir mit dieser Jackpotwahrscheinlichkeit pro Runde die Wahrscheinlichkeit für mindestens 7 Jackpots in Folge in 2211 Runden aus, dann erhalten wir dafür eine Wahrscheinlichkeit von 0.99994
Wenn 7 Jackpots in Folge so wahrscheinlich sind, warum ist das dann bisher noch nicht vorgekommen?
Der Hauptgrund ist wohl, dass die Tippzahl pro Runden nicht gleich ist sondern bei Mehrfachjackpots steigt.
In den letzten 7 (6erfreien) Runden wurden 3.0, 3.8, 4.4, 5.1, 6.8, 8.3 und 12.3 Millionen Tipps abgegeben.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Jackpot hängt von der Tippzahl ab und nimmt mit höherer Tippzahl ab. Je mehr Jackpots es also direkt vor eine Runde gab, desto geringer ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in der neuen Runde zu einem Jackpot kommt.
Es gibt in der Wahrscheinlichkeitsrechnung einfach formulierbare Aufgaben, die man nicht so einfach ausrechnen kann. Die Frage nach der Wahrscheinlichkeit für einen 7fach-Jackpot ist so eine Frage.
P.S.: Die Formel für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für mindestes 7 Jackpots hintereinander finden sie hier nicht, weil sie relativ kompliziert ist und tiefergehendes Verständnis für Berechnung mit rekursiv definierten Funktionen erfordert.
Für absolute Mathenerds:
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit $P(n,k,p)$, dass in einer Folge von $n$ Versuchen höchstens $k$ Ereignisse mit einer Einzelwahrscheinlichkeit $p$ unmittelbar aufeinander folgen, geht mit folgender Formel:
$$
P(n,k,p)=\begin{cases}1 & \text{für }n \leq k \\
1-p^{k+1} & \text{für }n = k+1 \\
\sum_{i=1}^{k+1}P(n-i,k,p)p^{i-1}(1-p)& \text{für }n>k+1
\end{cases}
$$
Die Wahrscheinlichkeit, bei 2211 Lottorunden mit je 6.6 Millionen Tipps pro Runde mindestens einmal 7 Jackpots hintereinander zu bekommen erhalten wir, indem wir
$$1-P(2211,6,\left(1-\frac{1}{8145060}\right)^{6600000})$$
berechnen.
Tipps pro Runde
Die folgende Grafik zeigt die Entwicklung der Zahl der pro Runde abgegebenen Tipps:
Diese Zahlen sind nicht direkt publiziert. Publiziert sind aber die Gewinnhöhen und Gewinnerzahlen in den einzelnen Rängen. Außerdem findet man in den Spielbedingungen die Quoten, welcher Anteil der gesamten Lottoeinsätze in welchen Gewinntopf geht. Damit kann man die Tippzahlen ausrechnen.
Eine Simulation mit Jackpotwahrscheinlichkeiten
Man kann die Frage nach der Wahrscheinlichkeit des 7fach-Jackpots mit den sich nach der Jackpotanzahl ändernden Wahrscheinlichkeiten mit einer Simulation untersuchen. Macht man das mit den angegebenen Tippzahlen, dann erhält man für die Wahrscheinlichkeit bei 100.000 Serien der Länge 2211 einen Wert von 0,98.
Hier ist Code in der Programmiersprache R für diese Simulation
library(tidyverse)
library(magrittr)
tipps = c(3.0, 3.8, 4.4, 5.1, 6.8, 8.3, 12.3)*10^6
probs_no_6 <- (1-1/choose(45,6))^tipps
simul_eine_serie <- function(n,k){
jackpots <- numeric(n)
jackpots[1] <- 0
for (i in 2:n){
jackpots[i] <- ifelse(runif(1) <= (probs_no_6[jackpots[i-1]+1]),1+jackpots[i-1],0)
if(jackpots[i] >= k) {break}
}
max(jackpots[1:i])
}
simulation <- function(repetitions,series_length,runlength){
replicate(repetitions,simul_eine_serie(series_length,runlength)) %>%
{table(.)[as.character(runlength)]/repetitions}
}
simulation(100000,2211,7)
Tipps bei Mehrfachjackpots
Die Zahl der abgegebenen Tipps steigt bei Mehrfachjackpots. Die Zahl der Tipps pro Runde hat aber auch mit Einführung der Mittwochziehungen (ab September 1997) abgenommen. Die folgende Tabelle zeigt die Anzahl der Tipps für diese verschiedenen Rahmenbedingungen.
Wahlaufhebung – wie kann man sie rechtfertigen
Als Statistiker und Mathematiker ist man gewohnt, Argumente auf ihre Konsistenz zu prüfen. Gelegentlich liest man Texte, die dieser Prüfung wohl nicht standhalten.
Gerhard Strejcek schreibt in der Presse vom 9. September 2018, dass seiner Meinung nach die Strafen für die Beamten und Bürgermeister, die die Auszählung bei der Bundespräsidentenwahl nicht vorschriftsgemäß durchgeführt haben, zu hoch sind. Die verhängten Geldstrafen liegen zwischen 5.000 und 14.000 €, in einem Fall wurde auch eine mehrmonatige bedingte Freiheitsstrafe verhängt.
Er begründet das damit, dass es sicher keine Manipulation der Wahl gegeben habe. Woher er die Gewissheit bezieht, dass es Tatsache sei, dass es keine Manipulationen gegeben habe, erläutert er mit keinem Wort.
Er ist aber auch der Meinung, dass der Verfassungsgerichtshof die Wahl zu Recht aufgehoben habe, und begründet das folgendermaßen:
Hingegen soll der VfGH weiterhin ergebnisrelevante „Wahlfehler“ ahnden.
In § 141(1) des Bundesverfassungsgesetzes steht folgender Satz:
Der Verfassungsgerichtshof hat einer Anfechtung stattzugeben, wenn die behauptete Rechtswidrigkeit des Verfahrens erwiesen wurde und auf das Verfahrensergebnis von Einfluss war.
Die Verfassung stellt also klar, dass „Wahlfehler“ nur dann ein Aufhebungsgrund sind, wenn sie tatsächlich das Verfahrensergebnis beeinflusst haben. Strejcek ist der Meinung, dass es keine Manipulation gegeben habe. Dann hat die Nichteinhaltung der Vorschriften aber das Verfahrensergebnis nicht beeinflusst.
Eine Wahlaufhebung zu rechtfertigen, wenn man der Meinung ist, dass es keine Manipulationen gegeben hat, scheint einigermaßen unverständlich.
Strejcek ist auch der Meinung, dass der VfGH im Wege einer Prognose selbst entscheiden könne, ob Wahlfehler „erheblich“ sind und dazu keine Statistiker brauche. Prognosen sind Aussagen über mögliche Zukünfte. Das Erkenntnis des VfGH bezieht sich dagegen auf eine in der Vergangenheit durchgeführte Wahl. Da braucht man keine Prognosen sondern Analysen. Und Statistiker(innen)? sind Spezialisten darin, zu analysieren, ob vorliegende Daten bestimmte Schlussfolgerungen belegen oder nicht. Es gibt ausreichend Untersuchungen darüber, wie schwierig es auch für kluge Menschen ist, statistisch sauber zu argumentieren. In den Entscheidungsprozess auch statistisches Fachwissen einzubeziehen wäre sicher vernünftig gewesen. Man kann mit allgemeinverständlicher statistischer Aufbereitung der Ergebnisse ganz klar und objektiv belegen, dass es keine Manipulationen gegeben hat. Allerdings können auch kluge Juristen diese Aufbereitung wohl kaum selbständig erstellen. Weil es sinnvoll ist, bei rechtlichen Entscheidungen auch außerjuridisches Fachwissen beizuziehen, gibt es die Institution der Sachverständigen. Zusammenhänge bei Wahlergebnisses zu analysieren gehört in den Kompetenzbereich von Statistiker(inne)?n und sicher nicht zu den Kernkompetenzen von Juristen.
Dass der Verfassungsgerichtshof Sachverständige heranziehen kann ist durch den § 35 des Verfassungsgerichtshofgesetzes geregelt. Dieser Paragraf besagt, dass die Verfahren im Wesentlichen nach den Verfahrensregeln der Zivilprozessordnung durchzuführen sind, und dort ist die Beiziehung von Sachverständigen vorgesehen. Befreundete Juristen sagen mir, dass das in der Vergangenheit auch schon mehrfach geschehen ist.
Die Nichteinhaltung der Vorschriften hat natürlich schon Folgen: Das Vertrauen der Wähler in die saubere Durchführung von Wahlen wurde nachhaltig beschädigt. Bei Wahlen ist wichtig, dass auf Grund des nachvollziehbaren Ablaufs Zweifel über die Gültigkeit des Ergebnisses ausgeschlossen werden können. Ein ganz wichtiges Prinzip bei Wahlen ist, dass sichergestellt werden muss, dass Wahlverlierer keinen Zweifel daran haben können, dass sie tatsächlich verloren haben. Genau diese Zweifel waren diesmal aber als Folge der Verfahrensmängel begründbar. Die jetzt Verurteilten haben also eine der Grundlagen, auf denen Konsens über demokratische Verfahrensweisen beruht, beschädigt.
Bildung und Digitalisierung sind kein Widerspruch
Ich hab ein paar Gedanken zu Digitalisierung und Bildung aufgeschrieben, und der standard hat die veröffentlicht.
Geschwindigkeitslimits und Aufprallgeschwindigkeit – die zweite
Seit 1. August gibt es auf der Autobahn Teststrecken, auf denen die erlaubte Höchstgeschwindigkeit 140 km/h statt der bisher erlaubten 130 km/h beträgt.
Nehmen wir folgendes an: ein Autofahrer, der 130 km/h fährt, sieht ein Hindernis, bremst sofort, und sein Auto bleibt genau vor dem Hindernis stehen.
Mit welcher Geschwindigkeit würde dieser Autofahrer auf das Hindernis auffahren, wenn er statt mit 130 km/h mit 140 km/h fährt.
Die Antwort: Die Aufprallgeschwindigkeit des schnelleren Autos ist 58.5 km/h. (oder 16.2 m/s)
Wenn man das mit einem fallenden Gegenstand vergleicht, dann kann man fragen, bei welcher Fallhöhe diese Geschwindigkeit erreicht wird.
In unserem Beispiel ergibt das eine Fallhöhe von 13.4 m, das entspricht einem Fall vom Fensterbrett im 4. Stock eines Wohnhauses.
In Oberösterreich wird auf der Teststrecke aufgrund von Messtoleranzen überhaupt erst ab 159 km/h gestraft. Da beträgt die Aufprallgeschwindigkeit dann 102.3 km/h und die äquivalente Fallhöhe ist 41.2 m, also ungefähr aus dem 13. Stock.
Methodisches zur Berechnung
Wie können wir das ausrechnen?
Um das mathematisch behandeln zu können brauchen wir 2 Tatsachen zu wissen:
- Wenn ein Fahrzeug mit konstanter Geschwindigkeit fährt, dann ergibt sich die zurückgelegte Wegstrecke als Geschwindigkeit x Zeit.
- Wenn ein Fahrzeug gleichmäßig beschleunigt oder verzögert fährt (also die Geschwindigkeit in gleichen Zeitabschnitten um denselben Betrag zu- oder abnimmt), dann ergibt sich die zurückgelegte Wegstrecke als mittlere Geschwindigkeit x Zeit. Dabei ist die mittlere Geschwindigkeit das arithmetische Mittel der Anfangs- und der Endgeschwindigkeit.
Um die Aufgabe konkret rechnen zu können brauchen wir noch ein bisschen Zusatzwissen.
Wenn ein Fahrer ein Hindernis wahrnimmt, dann vergeht noch etwas Zeit, bis er die Bremse betätigt und die Geschwindigkeit tatsächlich verringert wird. Diese Zeit nennt man Reaktionszeit. Sie beträgt typischerweise zwischen 0.5 und 2 Sekunden. Wir werden unsere Berechnungen zunächst mit 1 Sekunde Reaktionszeit durchführen.
Außerdem müssen wir wissen, wie stark der Bremsvorgang (sobald die Bremsen wirken, also nach der Reaktionszeit) die Geschwindigkeit verringert.
Bei einer Vollbremsung beträgt die Verzögerung bis zu 10 m/s². Was heißt das? Es heißt, dass die Geschwindigkeit in m/s pro Sekunde um 10 m/s geringer wird. Fährt das Auto mit 30 m/s, dann dauert es also 3 Sekunden, bis das Auto die Geschwindigkeit 0 hat und daher stehen bleibt.
Beim Autofahren werden Geschwindigkeiten allerdings meist nicht in m/s sondern in km/h angegeben. Wie wird da umgerechnet?
1 km entspricht 1000 m und 1 Stunde hat 3600 Sekunden. 1 m/s ist daher 3600 m/h oder 3.6 km/h.
Diese Umrechnung werden wir im Folgenden mehrfach brauchen.
Berechnung mit Tabellenkalkulation
Wir wissen jetzt schon genug, um unsere Berechnungen in einer Excel-Arbeitsmappe durchführen zu können.
Die Arbeitsmappe gibts hier zum Herunterladen oder Online-Bearbeiten.
Unsere ersten Berechnungen machen wir im Arbeitsblatt Ein Auto.
Im Kopfteil der Tabelle stehen die Ausgangswerte: Reaktionszeit, Fahrgeschwindigkeit und Bremsverzögerung (die letzten beiden mit Umrechnung sowohl in m/s als in km/h).
In Spalte Zeit steht einfach die verstrichene Zeit in Zehntelsekundenintervallen.
In Spalte Geschwindigkeit v(t) m/s wird die Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt berechnet. Sie beträgt zunächst eine Sekunde lang die Fahrgeschwindigkeit und nimmt dann jede Zehntelsekunde um 1 m/s beziehungsweise 3.6 km/h ab. (Die Geschwindigkeit in km/h steht in der letzten Spalte).
In der Spalte Weg s(t) m berechnen wir den bis zum jeweiligen Zeitpunkt zurückgelegten Weg. Dazu berechnen wir die mittlere Geschwindigkeit aus der Geschwindigkeit zum aktuellen und zum unmittelbar vorhergehenden Zeitpunkt (aus der Zeile darüber) und multiplizieren diese mit dem Zeitintervall (ergibt mit unseren Werten den in der gerade verstrichenen Zehntelsekunde zurückgelegten Weg) und addieren es zum Gesamtweg aus der Zeile darüber, also dem bis vor einer Zehntelsekunde zurückgelegten Weg.
Damit haben wir eine Tabelle, die für jeden Zeitpunkt angibt, welche Strecke das Auto bis dahin zurückgelegt hat und wie schnell es gerade ist.
Und jetzt kommt eines der viel zu wenig bekannten und genutzten Excel-Werkzeuge zum Zug: die LOOKUP-Funktion.
Was tut diese Funktion? Sie funktioniert wie das Nachschlagen der Übersetzung eines Wortes in einem Fremdsprachenwörterbuch.
Man hat ein Wort in Sprache A, dessen Übersetzung man sucht, eine alfabetisch geordnete Spalte mit lauter Wörtern in Sprache A, und eine zweite Spalte mit Wörtern der Sprache B und zwar so, dass neben jedem Wort in Sprache A in der ersten Spalte die Übersetzung des Wortes in Sprache B steht. Wie verwendet man ein Fremdsprachenwörterbuch? Man geht die Suchspalte entlang bis man das gesuchte Wort findet und findet rechts daneben die Übersetzung.
Genau das tut auch die Funktion LOOKUP. Sie benötigt 3 Inputs:
- den Wert, der gesucht werden soll
- eine geordnete Liste (Spalte) von Werten, in denen gesucht werden soll und
- eine List von korrespondierenden Werten, die als Ergebnis der Suche verwendet werden.
Wir haben eine Tabelle mit den 5 Spalten Zeit, Geschwindigkeit in m/s, Strecke in m und Geschwindigkeit in km/h.
Mit der LOOKUP-Funktion können wir berechnen, welche Geschwindigkeit das Fahrzeug nach welcher Strecke hat.
Wir müssen dazu nur die Strecke in der Spalte mit allen Streckenwerten suchen. Die Geschwindigkeit, die rechts daneben steht,
ist der gesucht Wert.
Wenn der Wert für die Strecke, nach dem wir suchen, nicht genau in der Spalte vorkommt, dann verwendet die LOOKUP-Funktion
einfach den letzten Wert davor, sie liefert also einen geringfügig zu kleinen Wert. In unserer Tabelle (die ist ja in Zehntelsekunden getaktet) ändert sich die Geschwindigkeit von Zeile zu Zeile um höchstens 3.6 km/h; um diesen Wert kann unser Ergebnis also ungenau sein.
Im Arbeitsblatt Bremsen unserer Arbeitsmappe berechnen wir dieselbe Tabelle für 2 Autos im Hunderstelsekundentakt.
Aus der Tabelle für das Auto A können wir die gesamte Anhaltestrecke für dieses Auto ablesen, es ist einfach der größte Wert
aus der Streckenspalte dieses Autos. Mit der LOOKUP-Funktion suchen wir in der Tabelle für Auto B die Zeile, in der die Strecke
so groß ist wie der Anhalteweg von Auto A und in dieser Zeile steht dann rechts daneben der Geschwindigkeit, die das Auto B an dieser Stelle hat.
Das Ergebnis steht in unserem Arbeitsblatt in der orange markierten Zelle.
Da wir im Hundersteltakt rechnen und sich die Geschwindigkeit pro Hunderstelsekunde maximal um 0.36 km/h ändert ist unser Ergebnis
auf km/h genau.
Sie können (und sollen) die Werte in den gelb markierten Zellen ändern und so die Aufprallgeschwindigkeit des schnelleren Autos
in verschiedenen Szenarien berechnen.
Dieses Arbeitsblatt löst unser Problem vollständig.
In diesem Arbeitsblatt haben wir keine Formeln verwendet, die Geschwindigkeit und Strecke unmittelbar aus der Zeit berechnen.
Wir haben stattdessen den gesamten Zeitraum in kleine Zeitabschnitte unterteilt und berechnet, wie sich Strecken und Geschwindigkeiten
von einem Intervall zum nächsten ändern. Wir sind also konzeptuell sehr nahe am Grundverständnis von Geschwindigkeit geblieben.
Die Tabelle ist relativ groß, ohne Computer ist diese Art der Berechnung kaum praktikabel.
In der Tabelle haben wir auch die ganze Zeit ein umfangreiches Protokoll des Ablaufs vor Augen.
Wir sehen Zahlen, und damit Größenordnungen, die Problemlösung „versteckt“ sich nicht hinter Formeln.
Außerdem benötigt diese Methode keine algebraische „Handfertigkeit“ im zur Umformung von Formeln und Gleichungen
und ist damit wohl vielen am Problem Interessierten leichter zugänglich.
Es gibt noch einen anderen Weg, der auf anderen Formeln beruht, und der in der Zeit vor Computern mehr oder weniger
der einzige gangbare Weg war. Den wollen wir uns jetzt genauer ansehen.
Berechnung mit algebraischen Formeln (klassische Schulmathematik)
Ein Auto fährt mit gleichmäßiger Geschwindigkeit $v_0$. Zum Zeitpunkt $t=0$ nimmt es ein Hindernis auf der Fahrbahn wahr.
Der Fahrer betätigt die Bremse, allerdings mit einer Verzögerung von $r$ Sekunden (diese Zeit heißt Reaktionszeit).
Ab dem Zeitpunkt der Bremsung verringert sich die Geschwindigkeit des Autos um $b$ m/s².
Die folgende Formel drückt genau diesen Sachverhalt aus, sie gibt die Geschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt $t$ an.
$$v(t)=
\begin{cases}
v_0 & \textrm{ für } t \le r \\
v_0-b(t-r) & \textrm{ für } t \gt r
\end{cases}
$$
Die zurückgelegte Wegstrecke zum Zeitpunkt $t$ ist während der Reaktionsphase $t v_0$. Danach, also im Zeitintervall von $r$ bis $t$
beträgt die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ und die Endgeschwindigkeit $v_0-b(t-r)$. Die mittlere Geschwindigkeit in diesem Intervall beträgt
daher $\frac{v_0+(v_0-(t-r)b)}{2}=v_0-(t-r)\frac{b}{2}$ und daher beträgt die in diesem Zeitintervall zurückgelegte Strecke
$(v_0-(t-r)\frac{b}{2})(t-r)$
Daher lautet die Formel für die Strecke zum Zeitpunkt $t$
$$s(t)=
\begin{cases}
v_0 t & \textrm{ für } t \le r \\
v_0 r + (v_0-\frac{b}{2}(t-r))(t-r) & \textrm{ für } t > r
\end{cases}
$$
Mit diesen Formeln können wir die Bremszeit und die Anhaltezeit (= Reaktionszeit + Bremszeit) berechnen.
Die Bremszeit ist die Zeit, während der sich die Geschwindigkeit von $v_0$ auf $0$ verringert. Da die Geschwindigkeit pro Sekunde um $b$
verringert wird, beträgt diese Zeit $\frac{v_0}{b}$.
Reaktionszeit: $r$
Bremszeit: $\frac{v_0}{b}$
Anhaltezeit: $r+\frac{v_0}{b}$
Die Summe von Reaktionsweg und Bremsweg heißt Anhalteweg und ist
die Strecke, die das Auto vom Wahrnehmen des Hindernisses bis zum Stillstand zurücklegt (wenn das Hindernis mindestens so weit weg ist).
Reaktionsweg: $v_0 r$
Den Bremsweg können wir berechnen, indem wir zunächst berechnen, wie lange das Auto braucht, um von Geschwindigkeit $v_0$ auf Geschwindikeit $0$ hinunterzubremsen. Diese Zeit ist $\frac{v_0}{b}$. Die Anfangsgeschwindigkeit in diesem Zeitintervall ist $v_0$ und die Endgeschwindigkeit ist $0$, daher ist die Durchschnittsgeschwindigkeit $\frac{v_0}{2}$ und die Strecke (Zeit $\cdot$ Durchschnittsgeschwindigkeit)
$\frac{v_0}{b}\frac{v_0}{2}=\frac{{v_0}^2}{2b}$
Bremsweg: $\frac{{v_0}^2}{2b}$
Anhalteweg: $v_0 r + \frac{{v_0}^2}{2b}$
Unser Problem lässt sich jetzt so formulieren:
Wenn das Auto Strecke $d$ zurückgelegt hat, also $s(t)=d$ gilt, wie groß ist die Geschwindigkeit $v(t)$ an dieser Stelle und zu diesem Zeitpunkt.
Der klassische Weg, solche Aufgaben zu lösen, ist folgender:
Wir lösen die Gleichtung $s(t)=d$ für $t$ und setzen die Lösung $t_d$, für die $s(t_d)=d$ gilt, in die Formel für die Geschwindigkeit ein,
berechnen also $v(t_d)$.
Wir müssen jetzt 2 Fälle unterscheiden:
Wenn die Strecke noch innerhalb des Reaktionswegs liegt $d \le v_0 r$, dann ist die Geschwindigkeit an der Stelle $d$ $v_0$.
Andernfalls müssen wir zunächst die Gleichung
$$v_0 r + (v_0-\frac{b}{2}(t-r))(t-r) = d$$
für $t$ lösen.
Das ist eine quadratische Gleichung in $t$, und zur Lösung der quadratischen Gleichung gibts eine Formel.
Wenn wir die Gleichung umformen, dann können wir sie so anschreiben:
$$-\frac{b}{2}t^2+(v_0+b r)t-(\frac{br^2}{2}-d)=0 $$
Die beiden Lösungen dieser Gleichung lauten
$$\frac{v_0+b r}{b}\pm\sqrt{\Big(\frac{v_0+br}{b}\Big)^2-\Big(r^2+\frac{2 d}{b}\Big)}$$
Wir sehen, dass der Ausdruck vor dem $\pm$-Zeichen die Anhaltezeit ist. Daher kommt die Lösung mit dem $+$-Zeichen sachlich nicht in Frage, weil der Zeitpunkt nach dem Anhalten des Autos liegt.
Die andere Lösung formen wir noch einmal um:
$$t_d=\frac{v_0}{b}+r-\frac{\sqrt{{v_0}^2 + 2 b r v_0 -2 b d}}{b}$$
und dann berechnen wir $v(t_d)$.
Das ergibt $v(t_d)=v_0-(t_d-r)b = v_0-(\frac{v_0}{b}+r-\frac{\sqrt{{v_0}^2 + 2 b r v_0 -2 b d}}{b}-r)b$
und nach Umformung
$v(t_d)=\sqrt{{v_0}^2 + 2 b r v_0 -2 b d}$
Die Geschwindigkeit $v_d$, die das Auto hat, wenn es die Strecke $d$ zurückgelegt hat, ist also
$$ v_d =\sqrt{{v_0}^2 + 2 b r v_0 -2 b d} $$
Mit dieser Formel können wir das ursprüngliche Problem lösen:
Wenn ein langsameres Auto A und ein schnelleres Auto B an derselben Stelle zu bremsen beginnen, welche Geschwindigkeit hat dann das
schnellere Auto an der Stelle, an der das langsamerer Auto stehen bleibt?
Die Anhaltestrecke für Auto A ist $d_A=v_A r + \frac{{v_A}^2}{2b}$. Die müssen wir in die Formen für $v_d$ einsetzen, und zwar für $d$.
Wir berechnen also $v_\textrm{Aufprall}=\sqrt{{v_B}^2 + 2 b r v_B -2 b(v_A r + \frac{{v_A}^2}{2b})}$ und mit einfachen Umformungen ergibt das
$$v_\textrm{Aufprall}=\sqrt{{v_B}^2-{v_A}^2+2br(v_B-v_A)}$$
Das sind die Werte unseres Problems:
$v_A=130\frac{\textrm{km}}{\textrm{h}}=\frac{130}{3.6}\frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}=
36.1\frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}$
$v_B=140\frac{\textrm{km}}{\textrm{h}}=\frac{140}{3.6}\frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}=
38.9\frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}$
$r=1\textrm{s}$
$b=10\frac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}=(3.6\cdot 10)\frac{\frac{\textrm{km}}{\textrm{h}}}{s}=
36\frac{\frac{\textrm{km}}{\textrm{h}}}{s}$
In die Formel für $$v_\textrm{Aufprall}$ eingesetzt ergibt das
$$v_\textrm{Aufprall}=\sqrt{\Big({\frac{140}{3.6}}\Big)^2-{\Big(\frac{130}{3.6}}\Big)^2+2\cdot 10 \cdot 1\cdot \Big(\frac{140}{3.6}-\frac{130}{3.6}\Big)}=16.24$$
In dieser Gleichung sind alle Konstanten in Meter und Sekunden gerechnet, daher ist auch das Ergebnis die Geschwindigkeit in m/s.
Ungerechnet in km/h ergibt das
$$v_\textrm{Aufprall}=58.5 \textrm{km/h}$$
An dieser Stelle ein Geständnis: Alle Umformungen dieses Abschnitts kann man mit Papier und Stift durchführen. Ich habe mich dabei aber von einem Computeralgebrasystem (Maxima) unterstützen lassen. Das hilft sehr dabei, eigene Fehler zu erkennen und zu korrigieren, und es geht auch schneller als rein „manuelles“ Rechnen. Es gibt meiner Meinung nach keinen wirklichen Grund, solche relativ mühsamen Umformungen „aus Bestemm“ nur mit Papier und Stift durchzuführen. Es bleibt genug intellektuelle Leistung, alle Ausdrücke „per Hand“ in eine verständliche Form zu transformieren.
Mathematische Trickserei
Die Formel für die Zeit $t_d$ bis zum Erreichen der Strecke $d$ lautet
$$t_d=\frac{v_0}{b}+r-\frac{\sqrt{{v_0}^2 + 2 b r v_0 -2 b d}}{b}$$
Die Formel für die Geschwindigkeit an diesem Punkt lautet
$$ v_d =\sqrt{{v_0}^2 + 2 b r v_0 -2 b d} $$
ist also etwas einfacher strukturiert.
Der erste Teil der Formel für $t_d$, der Ausdruck $t_{\textrm{total}}=\frac{v_0}{b}+r$, gibt die gesamte Anhaltezeit an. Daher ist der zweite Teil,
$\frac{\sqrt{{v_0}^2 + 2 b r v_0 -2 b d}}{b}$, die Zeit, die das Auto benötigt, von der Geschwindigkeit $v_d$ auf Geschwindigkeit $0$ abzubremsen.
Wenn wir den Film umgekehrt laufen lassen, dann ist das auch die Zeit, die ein Auto braucht, um von Geschwindigkeit $0$ auf Geschwindigkeit
$v_d$ zu beschleunigen.
Wenn wir Zeiten und Strecken von dem Punkt, wo das Auto stehen bleibt, zurück rechnen, und diese Werte $t_{\textrm{Rest}}$, $v_{\textrm{Rest}}$ und $d_{\textrm{Rest}}$ nennen, dann gilt
$s_{\textrm{Rest}}=s_{\textrm{total}}-d$
$t_{\textrm{Rest}}=t_{\textrm{total}}-t_d$
$v_{\textrm{Rest}}=v_d$
Da $s_{\textrm{Rest}}=t_{\textrm{Rest}}\frac{0+b t_\textrm{Rest}}{2}=t_{\textrm{Rest}}^2\frac{b}{2}$ gilt, git auch
$t_{\textrm{Rest}}=\sqrt{\frac{2s_{\textrm{Rest}}}{b}}$ und ebenso gilt
$v_{\textrm{Rest}}=bt_{\textrm{Rest}}=b\sqrt{\frac{2s_{\textrm{Rest}}}{b}}$
Wenn wir jetzt $s_{\textrm{Rest}}=v_0 r+\frac{{v_0}^2}{2b}-d$ in die letzte Gleichung einsetzen, dann erhalten wir
$v_{\textrm{Rest}}=bt_{\textrm{Rest}}=b\sqrt{\frac{2(v_0 r+\frac{{v_0}^2}{2b}-d)}{b}}=\sqrt{2 b (v_0 r+\frac{{v_0}^2}{2b}-d)}$
und nach weiterer Umformung
$v_{\textrm{Rest}}=\sqrt{{v_0}^2+2b r v_0 -2 b d}$
Da $v_d=v_\textrm{Rest}$ haben wir auf eine etwas andere Art die Formel für die Geschwindigkeit des Autos nach einer Fahrtstrecke $d$ (mit Bremsung) abgeleitet:
$$v_d=\sqrt{{v_0}^2+2b r v_0 -2 b d}$$
Die Ableitung war von den Umformungen her betrachtet etwas einfacher, dafür sind die Überlegungen, die zur Ableitung führen, etwas komplizierter, weil wir nicht mit der gesuchten Strecke $d$ sondern mit der Reststrecke $v_0 r + \frac{{v_0}^2}{2b} – d$ argumentieren.
Überlegungen über Modifikationen des zu modellierenden Sachverhalts können also die algebraische Manipulation etwas einfacher machen.
Die ganzen Berechnung mit Computeralgebrasystemen gibts als entsprechende Notebooks zum Herunterladen
- für Maxima (das gibts für alle Plattformen gratis hier)
- für Mathematica (das gibts leider nicht gratis)
Äquivalente Fallhöhe
Um sich die Wirkung der Aufprallgeschwindigkeit vorzustellen kann es hilfreich sein, zu wissen, bei welcher Fallhöhe ein Gegenstand mit dieser Geschwindigkeit am Boden auftreffen würde.
Wir brauchen also eine Formel, die aus der Geschwindigkeit jene Höhe errechnet, aus der ein fallender Gegenstand diese Geschwindigkeit erreiche würde.
Die klassischen Formeln für den freien Fall lauten
$$s(t)=\frac{g}{2}t^2$$
und
$$v(t)=g t$$
Dabei ist $g$ die Fallbeschleunigung von 9.81 m/s², $t$ die Fallzeit, $s(t)$ die Fallhöhe zur Zeit $t$ und $v(t$) die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t.
Da $v(t)=gt$ ist, ist auch $t=\frac{v(t)}{g}$. Setzen wir das in die Formel für die Fallstrecke ein, dann erhalten wir $s(t)=\frac{g}{2}(\frac{v(t)}{g})^2$, und das gilt für jeden beliebigen Zeitpunkt t. Diese Formel können wir noch ein bisschen vereinfachen, zu $s(t)=\frac{1}{2g}v(t)^2$.
Da diese Formel für jeden Zeitpunkt t gilt können wir auch so formulieren.
Ein fallender Gegenstand erreicht die Geschwindigkeit $v$ bei einer Fallhöhe von $\frac{v^2}{2g}$.
In unserem Beispiel (Aufprallgeschwindigkeit 16.2 m/s) ergibt das eine Fallhöhe von 13.4 m, das entspricht einem Fall vom Fensterbrett im 5. Stock eines Wohnhauses.
Woher kommen die Werte für Bremsverzögerung und Reaktionszeit?
Die Reaktionszeit liegt in der Regel zwischen 0.5 Sekunden und 2 Sekunden. Das findet man in vielen Quellen,
z.b hier in der Wikipedia. Dort liest man auch, dass die Bezeichnung Reaktionszeit eigentlich ein bisschen irreführend ist, weil die Zeitspanne auch die Verzögerung bis zum Ansprechen der Bremse umfasst.
Die Bremsverzögerung kann man aus Messungen von Bremsstrecken ermitteln.
Der deutsche Automobilclub ADAC führ immer wieder Messungen zu Bremsstrecken verschiedener Autotypen durch.
Ergebnisse findet man dann auf der Website, zum Beispiel hier.
Da die Formel für den Zusammenhang zwischen Bremsstrecke und Bremsverzögerung $s=\frac{v^2}{2b}$ lautet kann man aus den gemessenen Bremsstrecken (bei 100 km/h, also 27.8 m/s) die Verzögerung als $b=\frac{27.8^2}{2s} \approx \frac{384}{s}$
Die vom ADAC gemessenen Bremsstrecken variieren zwischen 32 und 35 m. Sie wurden bei den bestmöglichen Straßenbedingungen gemessen.
Mit diesen Werten erhält man für $b$ Werte zwischen 11 und 12 m/s².
Der hier verwendete Wert von 10 m/s^2 geht also von ziemlich guten, aber nicht restlos optimalen Straßenbedingungen aus.
Diese Werte zeigen auch, dass die in vielen Fahrschulen und Schulbüchern verwendete Formel für den Bremsweg $\frac{v^2}{100}$ (wobei $v$ in
km/h angegeben wird) nicht sehr praxisnahe ist. Diese Formel ergibt bei 100 km/h eine Bremsstrecke von 100 m.
Rechnet man die 100 km/h in m/s um, so erhält man 27.8 m/s und in unsere Formel für den Bremswert eingesetzt ergibt das einen Wert von
3.84 m/s². Das ist um einiges kleiner als die real gemessenen 11 bis 12 m/s².
Grundsätzliche und didaktische Überlegungen
Ich habe diesen Artikel aus mehreren Gründen geschrieben.
- Im Zusammenhang mit der Testphase der neuen Höchstgeschwindigkeit konnte man in verschiedenen Zeitungen nachlesen, wie sich durch
diese neue Regelung Bremswege bei Vollbremsungen verlängern. Die Frage, die der Artikel beantwortet: Wie schnell ist das schnellere Auto dort, wo das langsamere schon stehen bleibt, wurde aber in diesen Artikeln nicht behandelt. - Ich wollte zeigen, dass man mit wenigen Grundkenntnissen über Konzepte Geschwindigkeit und Weg die Frage mit einem Tabellenkalkulationsprogramm relativ einfach beantworten kann. Ein Programm, das auf den allermeisten Computern vorhanden ist,
reicht völlig aus, das Problem zu lösen, es ist keinerlei Spezialsoftware notwendig. - Ich wollte zeigen, dass man die Aufgabe mit den klassischen Hilfsmitteln Papier, Stift und Fähigkeit zur algebraischen Manipulation von Formeln und zum Lösen quadratischer Gleichungen ebenfalls lösen kann. Allerdings ist der Arbeitsaufwand letztlich höher und – da man sich bei der gegebenen Komplexität der Formeln – relativ leicht verrechnen kann, ist diese Methode auch hinsichtlich der Überprüfung zeitintensiv. Dabei kann ein Computeralgebrasystem wertvolle Hilfe leisten, und damit ist zu einer vernünftigen und effizienten Problemlösung wieder der Computer ein wesentlicher Beitrag.
- Insgesamt soll das Beispiel zeigen, dass bei einem praxisrelevanten Problem, das auch von öffentlichem Interesse ist, vernünftige Lösungsstrategien auf jeden Fall Computer verwenden. Die Lösung enthält viel mathematisches Denken, und reine Routinearbeit überträgt man dem Computer. Algebraische Umformungen von Formeln sind solche Routinetätigkeiten.