Mathepuzzle: Zwei Spiele hintereinander gewinnen

Bei einer Spielserie muss man ein Spiel 3x hintereinander spielen. Man gewinnt eine Serie, wenn man 2x hintereinander gewinnt.

Es gibt 2 Gegner, eine besseren, bei dem man mit geringerer Wahrscheinlichkeit gewinnt, und einen schwächeren, bei dem man mit höherer Wahrscheinlichkeit gewinnt.

Man muss abwechselnd gegen die beiden Gegner spielen.

Wann hat man die besseren Gewinnchancen, wenn man zuerst gegen den schwächeren oder zuerst gegen den besseren Gegner spielt?

Es stellt sich heraus, dass man die besseren Chancen hat, wenn man zuerst gegen den besseren Gegner spielt.

1. Antwort:
Um 2 Spiele hintereinander zu gewinnen muss man auf jeden Fall das 2. Spiel gewinnen. Dieses Spiel gewinnt man leichter, wenn man bei diesem Spiel gegen den schwächeren Gegner spielt. Daher muss man mit dem stärkeren Gegner beginnen.
Das ist keine saubere mathematische Begründung, aber sie mach das Ergebnis plausibel.

2. Antwort:
Um die Serie zu gewinnen muss man auf jeden Fall das 2. Spiel und entweder das 1. oder das 3. Spiel oder beide gewinnen.
Wenn man gegen den besseren Spieler 2x spielen kann, ist die Chance, wenigstens 1x zu gewinnen besser, als wenn man
auf jeden Fall gegen ihn gewinnen muss.

3. Antwort:
Es gibt 8 mögliche Spielserien GGG, GGV, GVG, …. (G ist Gewinn, V ist Verlust).
Man gewinnt bei 3 davon, nämlich bei GGG, GGV und VGG.
Wenn $p_B$ die Wahrscheinlichkeit gegen den besseren Gegner zu gewinnen ist, und $p_S$ die Wahrscheinlichkeit gegen den schlechteren Gegner zu gewinnen ist, dann ist $p_b < p_s$. Wenn man zuerst gegen den besseren Gegner spielt, dann gewinnt man die 3er-Serie mit Wahrscheinlichkeit $p_b p_s p_b + p_b p_s (1-p_b) + (1-p_b) p_s p_b = p_b p_s (2-p_b)$. Spielt man zuerst gegen den schwächeren Spieler, dann gewinnt man die 3er-Serie mit Wahrscheinlichkeit $p_s p_b p_s + p_s p_b (1-p_s) + (1-p_s) p_b p_s = p_b p_s (2-p_s)$. Da $p_b < p_s$ ist $p_b p_s (2-p_b) > p_b p_s (2-p_s)$ und die Wahrscheinlichkeit ist größer, wenn man zuerst gegen den stärkeren Spieler spielt.

4. Antwort.
Um die Serie zu gewinnen muss man auf jeden Fall das 2. Spiel und mindestens 1 Spiel vom 1. und vom 3. Spiel gewinnen.
Spielt man zuerst gegen den besseren Gegner, dann gewinnt man mit Wahrscheinlichkeit $p_s (1-(1-p_b)^2)$.
Spielt man zuerst gegen den schwächeren Gegner, dann gewinnt man mit Wahrscheinlichkeit $p_b (1-(1-p_s)^2)$.
Es gilt aber $p_s (1-(1-p_b)^2)=p_s p_b (2-p_b)$ und $p_s (1-(1-p_b)^2)=p_s p_b (2-p_s)$ und damit kann man wieder wie
in der 2. Antwort argumentieren.