Infektionskrankheiten, Herdenimmunität und ein bisschen Mathematik

Welcher Prozentsatz einer Bevölkerung muss geimpft sein, damit sich eine Infektionskrankheit nicht epidemisch ausbreitet? Da kann ein wenig einfache Mathematik weiterhelfen.
Wir nehmen vereinfachend auch an, dass jede(r) Erkrankte wieder gesund wird, danach gegen die Krankheit immun ist und auch niemand anderen mehr anstecken kann.
Ein Beispiel: Nehmen wir an niemand ist immun (geimpft) und ein bereits Infizierter steckt im Schnitt 5 weitere (nicht immune) Personen an. Die 5 stecken dann weiter 25 Personen an usw.
Wenn von den 5 aber 4 immun sind, dann erkrankt nur eine weitere Person und die Zahl der Infizierten „explodiert“ nicht. Bei einem Ansteckungsfaktor von 5 muss also ein Anteil von (1-1/5) der Bevölkerung geimpft sein, damit keine Epidemie ausbricht. Allgemeiner muss bei einer Ansteckungsrate von R ein Anteil von (1-1/R) der Bevölkerung geimpft sein, damit die Krankheit sich nicht zu sehr ausbreitet. Die Durchimpfungsrate, die man zur Epidemievermeidung braucht, ist bei einem Ansteckungsfaktor R also (1-1/R).
Schätzwerte für den Ansteckungsfaktor verschiedener Krankeiten lauten:
Pocken 3 bis 5
Masern 16 bis 18
Bei Masern brauchen wir (diesen Zahlen folgend) eine Durchimpfungsrate
von (1-1/18) ≃ 95% um Epidemien zu vermeiden. Dieses Rechenmodell ist natürlich grob vereinfachend, es bietet aber die Möglichkeit, zumindest grob abzuschätzen, welche Durchimpfungsraten bei verschiedenen Krankheiten zur Epidemievermeidung notwendig wären. Etwas mehr Mathematik dazu gibt es (auf Englisch) hier.