About Erich Neuwirth

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  • Biography: Ausserordentlicher Professor (i.R.) an der Universität Wien. Lehrt Informatik, Statistik und Mathematik. Leiter einer Arbeitsgruppe von Statistikern, die die PISA-Ergebnisse für Österreich 2000 korrigiert hat. Diese Korrektur wurde (das ist weder vorher noch nachher noch einmal geschehen) von der OECD offiziell anerkannt und wird seither in den offiziellen OECD-Publikationen verwendet.

Posts by Erich Neuwirth:

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Ein #mathepuzzle

Posted by Erich Neuwirth on 11. Dezember 2018 in Allgemein |

und was man daraus alles lernen kann

Ich poste (als @neuwirthe) auf Twitter regelmäßig mathematische Puzzles unter den hashtag #mathepuzzle. Unlängst hab ich folgendes gepostet:

Fülle die 4 Felder so aus, dass alle markierten Rechnungen stimmen.
Viele Leser haben die richtige Lösung gefunden.

Wie kann man die Lösung intelligent suchen?

Probieren wir es mit Excel (oder LibreOffice oder einem anderen tabellenkalkulationsprogramm)

Die Felder sind farbig markiert, damit wir leichter darüber reden können. Die 4 Randsummen sind die Vorgaben, wir wollen, dass Zeilen- und Spaltensummen diese Werte ergeben.

Hinter den 0en stecken Formeln, die die jeweils beiden Zellen (entweder darüber oder links daneben) addieren.

Man sieht sofort, dass in den beiden blauen Feldern dasselbe stehen muss, da ja beide Zahlen jeweils zur orangen Zahl addiert 8 ergeben müssen.
In beiden Zellen können wir daher die Formel „8 – orange Zelle” eingeben.
In der lila Zelle kommt die Formel „13 – blaue Zelle darüber“.
Wenn wir das machen, dann erhalten wir Folgendes:

3 unserer 4 Summen sind also schon richtig. Wir können jetzt im orangen Feld verschiedene Zahlen ausprobieren und so eine Lösung suchen.

Wenn wir ins orange Feld 2 eingeben erhalten wir im grünen Feld 1, orange 3 ergibt grün 3, orange 4 ergibt grün 5, orange 5 ergibt grün 7 usw. Jeweils 1 mehr im orangen Feld ergibt also 2 mehr im grünen Feld. Wir hätten gerne 6 im grünen Feld. 4 orange ergibt zu wenig, 5 orange ergibt zu viel, daher versuchen wir es mit 4.5

4.5 ist also die Lösung.

Wir hätten auch die Zielwertsuche von Excel verwenden und Excel die Aufgabe

Ändere den Inhalt des orangen Feldes so, dass im grünen Feld 6 steht.

stellen können.

Es geht auch „klassischer“.

Nennen wir den Wert im orangen Feld $x$.
Dann muss in den beiden blauen Feldern $8-x$ stehen.
Im lila Feld steht dann $13-(8-x)=5+x$. Der Wert im grünen Summenfeld ist daher $(5+x)-(8-x)=2x-3$. Dieser Wert soll 6 sein, also lautet die Gleichung, die wir lösen müssen, $2x-3=6$ und die Lösung ist $x=\frac{9}{2}=4.5$.

Wir können dieses Beispiel auch mit Mitteln der (etwas) höheren Mathematik angehen 😉

Wir benennen die Feldinhalte als Variable und stellen ein Gleichungssystem mit 4 Unbekannten auf:

$$
\begin{split}
&1 x_1 + 1 x_2 + 0 x_3 &+ &0 x_4 &= 8 \\  
&0 x_1 + 0 x_2 + 1 x_3 &- &1 x_4 &= 6 \\
&1 x_1 + 0 x_2 + 1 x_3 & + &0 x_4 &= 13 \\
&0 x_1 + 1 x_2 + 0 x_3 & + &1 x_4 &= 8 
\end{split}
$$

Diese Schreibweise alleine hilft noch nicht, mehr herauszufinden. In der Mathematik gibts noch eine Kurzschreibweise, die es uns erspart, die Variablen so oft anzuschreiben:

$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 8 \\ 6 \\ 13 \\ 8 \end{pmatrix}
$$

In der Mathematik gibt es Hilfsmittel, zu entscheiden, ob ein derartiges Gleichungssystem immer lösbar ist, auch dann, wenn man die Zahlen auf den rechten Seite der Gleichungszeichen beliebig ändert.
Wenn wir das entsprechend aufschreiben sieht es so aus:

$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \\ r_4 \end{pmatrix}
$$

Mit mathematischen Hilfsmitteln erhalten wir dann für beliebige rechte Seiten die Lösung

$$
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & -1 \\
0 & -1 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & 1 & -1 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}r_1 \\ r_2 \\ r_3 \\ r_4 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}
$$

Wenn wir unsere Zeilen- und Spaltensumme $r_1=8$, $r_2=6$, $r_3=13$ und $r_4=6$ einsetzten dann erhalten wir die Lösung $x_1=\frac{7}{2}$, $x_2=\frac{9}{2}$, $x_3=\frac{19}{2}$ und $x_4=\frac{7}{2}$.

Der Zweig der Mathematik, der Lösbarkeit und Lösungsmethoden  solcher Gleichungssysteme untersucht, heißt Lineare Algebra.

Wir können solche Gleichungssystem in vielen speziellen Fällen lösen. Das Wissen, dass unser Puzzle bei beliebigen Zeilen- und Spaltensummen immer eindeutig lösbar ist, liefern aber erst die Methoden der Linearen Algebra.

7-fach-Jackpot im Lotto: Wie wahrscheinlich ist so etwas?

Posted by Erich Neuwirth on 19. November 2018 in Allgemein |

Wir haben das erste Mal seit es das Lotto 6 aus 45 gibt, also seit September 1986, einen 7-fachen Jackpot. Es gab bisher 2784 Spielrunden. Man kann fragen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass bei so vielen Lottorunden 7x hintereinander keine Spieler die 6 Richtigen tippt. Es gibt allerdings keine einfache Antwort auf diese Frage. […]

Wahlaufhebung – wie kann man sie rechtfertigen

Posted by Erich Neuwirth on 12. September 2018 in Allgemein |

Als Statistiker und Mathematiker ist man gewohnt, Argumente auf ihre Konsistenz zu prüfen. Gelegentlich liest man Texte, die dieser Prüfung wohl nicht standhalten. Gerhard Strejcek schreibt in der Presse vom 9. September 2018, dass seiner Meinung nach die Strafen für die Beamten und Bürgermeister, die die Auszählung bei der Bundespräsidentenwahl nicht vorschriftsgemäß durchgeführt haben, zu […]

Bildung und Digitalisierung sind kein Widerspruch

Posted by Erich Neuwirth on 5. September 2018 in Allgemein |

Ich hab ein paar Gedanken zu Digitalisierung und Bildung aufgeschrieben, und der standard hat die veröffentlicht.

Geschwindigkeitslimits und Aufprallgeschwindigkeit – die zweite

Posted by Erich Neuwirth on 3. August 2018 in Allgemein |

Seit 1. August gibt es auf der Autobahn Teststrecken, auf denen die erlaubte Höchstgeschwindigkeit 140 km/h statt der bisher erlaubten 130 km/h beträgt. Nehmen wir folgendes an: ein Autofahrer, der 130 km/h fährt, sieht ein Hindernis, bremst sofort, und sein Auto bleibt genau vor dem Hindernis stehen. Mit welcher Geschwindigkeit würde dieser Autofahrer auf das […]

Geschwindigkeitslimits und Aufprallgeschwindigkeit

Posted by Erich Neuwirth on 1. August 2018 in Allgemein |

Bisher war die erlaube Höchstgeschwindigkeit auf Autobahnen 130 km/h. Seit 1. August gibt es Teststrecken, auf denen 140 km/h erlaubt sind. Höhere Geschwindigkeiten haben längere Bremswege zur Folge. Wenn also beispielsweise ein Auto mit 130 km/h bei einer Vollbremsung nach 101.3 m zum Stillstand kommt, braucht ein Auto mit 140 km/h 114.5m bis zum Stillstand. […]

Münzsummenproblem

Posted by Erich Neuwirth on 25. Juni 2018 in Allgemein |

Ich habe unlängst auf twitter in meiner Serie #mathepuzzle folgende Aufgabe gestellt: Auf wieviele Arten kann man 1€ aus Centmünzen zusammenstellen (wenn ausreichend viele Centmünzen aller verfügbaren Werte verfügbar sind). Jetzt habe ich die Lösung genauer beschrieben.

Welche Mathematik sollen Maturanten beherrschen?

Posted by Erich Neuwirth on 22. Juni 2018 in Allgemein |

Mathematik-Professoren der TU Wien fordern gerade, den Gebrauch von Computerwerkzeugen bei der Matura einzuschränken, weil das dazu führe, dass die Studierenden weniger “mathematisch-handwerkliche” Fähigkeiten als früher mitbringen. (https://www.tuwien.ac.at/aktuelles/news_detail/article/126023/) Dazu ein paar Anmerkungen: Erst bei der heurigen Matura war es erstmals vorgeschrieben, dass solche Werkzeuge für alle Prüflinge zur Verfügung stehen müssen. Diese Schüler beginnen erst […]

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Die Ameise auf dem Gummiband, oder eine seltsame Mathematikaufgabe

Posted by Erich Neuwirth on 7. April 2018 in Allgemein |

Als eines meiner #mathepuzzle auf Twitter gab es folgendes: Eine Ameise sitzt am Ende eines 1 m langen Gummibandes und krabbelt mit einer Geschwindigkeit von 1 cm/s zum anderen Ende. Das Gummiband wird aber pro Sekunde um 1 m gedehnt. Erreicht die Ameise je das andere Ende des Gummibandes? Erste Erklärung: Wir modifiziern das Problem […]

Ein bisschen Mathematik. Gesucht: Kürzestes Straßennetz

Posted by Erich Neuwirth on 23. März 2018 in Mathematische Bildung |

In meinen nahezu täglich erscheinenden #mathepuzzle(s) auf Twitter gabs gestern folgende Aufgabe (leicht modifiziert): 4 Orte bilden die Eckpunkte eines Quadrats. Die Gegend ist vollkommen flach und nicht bewachsen (stellen sie sich zum Beispiel eine Gegend in Arizona vor). Es soll eine Straßennetz angelegt werden, auf dem man von jedem Ort aus jeden anderen erreichen […]

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