About Erich Neuwirth

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  • Biography: Ausserordentlicher Professor (i.R.) an der Universität Wien. Lehrt Informatik, Statistik und Mathematik. Leiter einer Arbeitsgruppe von Statistikern, die die PISA-Ergebnisse für Österreich 2000 korrigiert hat. Diese Korrektur wurde (das ist weder vorher noch nachher noch einmal geschehen) von der OECD offiziell anerkannt und wird seither in den offiziellen OECD-Publikationen verwendet.

Posts by Erich Neuwirth:

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Die Ameise auf dem Gummiband, oder eine seltsame Mathematikaufgabe

Posted by Erich Neuwirth on 7. April 2018 in Allgemein |

Als eines meiner #mathepuzzle auf Twitter gab es folgendes:

Eine Ameise sitzt am Ende eines 1 m langen Gummibandes und krabbelt mit einer Geschwindigkeit von 1 cm/s zum anderen Ende. Das Gummiband wird aber pro Sekunde um 1 m gedehnt. Erreicht die Ameise je das andere Ende des Gummibandes?

Erste Erklärung:
Wir modifiziern das Problem ein bisschen.
Jede volle Sekunde wird das Gummiband mit einem Ruck um 1 m gestreckt, das erste Mal schon, wenn die Ameise loskrabbelt. Das ist für die Ameise ein Nachteil, das Band früher länger ist.
Außerdem drücken wir die Position der Ameise als Anteil an der Gesamtlänge des Gummibandes aus.
Das Band wird also auf 2 m gestreckt, dann krabbelt die Ameise 1 cm, das ist $\frac{1}{200}$ der Bandlänge. also hat sie die Position $\frac{1}{200}$ der Länge des Bandes. Dann wird das Band auf 3 m gestreckt, die Ameise behält die relative Position und krabbelt wieder 1 cm, also $\frac{1}{300}$der Bandlänge und hat die relative Position $\frac{1}{200}+\frac{1}{300}$. Dann wird das Band auf 4 m gestreckt, die Ameise behält die relative Position und krabbelt wieder 1 cm, also $\frac{1}{400}$ der Bandlänge und hat die relative Position
$\frac{1}{200}+\frac{1}{200}+\frac{1}{400}$.

Nach n Schritten hat die Ameise die relative Position
$\frac{1}{100}(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ \ldots + \frac{1}{n})$

Diese Summe wird beliebig groß, also größer als jede vorgegebene Zahl, und daher kann die Ameise das Ende erreichen.

Eine andere Erklärung:
Wir bleiben bei der Modifikation, dass das Band jede volle Sekunde
ruckartig um 1 m gestreckt wird.
Wir machen am Gummiband alle 5 mm eine Markierung. Da das ganze ursprünglich 1 m lange Band jede Sekunde um 1 m länger wird, wird jedes Stück zwischen 2 Markierungen jede Sekunde um 5 mm länger.
Nehmen wir jetzt eines dieser (anfänglich) 5 mm langen Stücke her, z.B. eines, das gerade 100mm lang ist. Wenn die Ameise den Anfang dieses Stücks erreicht, dann wird das Stück einmal auf 105 mm verlängert. Dann krabbelt die Ameise 10 mm. Bleiben 95 mm. Dann wird wieder verlängert, die 95 mm werden 100 mm (sogar ein bisschen weniger, weil ein Teil der zusätzlichen 5 mm auch das 10-mm-Stück hinter der Ameise verlängert). In der nächsten Sekunde geht die Ameise wieder 10 mm, bleiben 90 mm, die werden auf 95 verlängert usw. Die Ameise hat nach 20 Sekunden das anfänglich auf 100 mm gestreckte 5-mm-Stück (das inzwischen 200 mm lang ist) hinter sich. Jedes beliebig gedehnte ursprüngliche 5 mm lange Stück wird also in endlicher Zeit absolviert. es gibt 200 solcher Stücke, also muss man die 200 Zeiten addieren, erhält eine Summe uns sieht, dass es sich ausgeht.

Ein Excel-Workbook, in dem das durchgerechnet wird, gibt es zum Herunterladen.

Die klassische mathematische Lösung

Wenn man genau wissen will, wie lange es unter den originalen Bedingungen dauert, muss man zu höherer Mathematik (Differentialgleichungen) Zuflucht nehmen.
Jetzt wirs also mathematisch anspruchsvoller!
Die Geschwindigkeit der Ameise setzt sich aus 2 Komponenten zusammen: 1 cm/s kommt vom Krabbeln, dazu kommt aber noch, dass die Ameise beim Dehnen des Gummibandes mitgenommen wird.
Wenn die Ameise also schon 1/4 des Bandes absolviert hat, ist ihre „Bandgeschwindigkeit“ 1/4 davon.
Das Band wird mit 100 cm/s gedehnt, hat also zum Zeitpunkt $t$ die Länge $100+100 t=100(1+t)$.
Ist die Ameise zum Zeitpunkt t an der Stelle x(t), dann hat sie die Bandgeschwindigkeit $100\frac{x(t)}{100(1+t)}=\frac{x(t)}{1+t}$
Die Geschwindigkeit ist die erste Ableitung des Ortsfunktion x(t), also gilt $x'(t)=1+\frac{x(t)}{1+t}$.

So etwas löst man heutzutage mit einem Computer-Algebra-Programm, zum Beispiel mit dem kostenfrei verfügbaren Maxima (bzw. wxMaxima), erhältlich von maxima.sourceforge.net/.

Hier ist der Code zur Lösung:

sol : ode2('diff(x,t)=1+x/(1+t),x,t);   
ic1(sol,t=0,x=0);

Wir erhalten die Lösung $x(t)=(t+1)\log(t+1)$

Diese Lösung der Differentialgleichung ist noch nicht die Antwort auf unser Problem,
sie gibt ja nur an, wie weit die Ameise zur Zeit t gekommen ist.

Wir überprüfen also noch, ob es einen Zeipunkt gibt, an dem die Wegstrecke der Amseise
mit der Bandlänge gleich ist. Das machen wir natürlich wieder mit Maxima.
Hier ist der Code zur Lösung:

solve((t+1)*log(t+1)=100*(1+t),t);

Wir erhalten die Lösungen

[t=%e^100-1,t=-1]

Es dauert also $e^{100}-1$=2.6*10^47 Sekunden, dann hat die Ameise das Bandende erreicht.
Wie lange ist das in anderen Zeiteinheiten?
1 Jahr hat 3.2*10^7 Sekunden, also dauert das 8.1*10^35 Jahre.
Das Alter des Universums wird derzeit auf 1.4*10^10 Jahre geschätzt, also braucht die Ameise 5.8*10^25 mal das Alter des Universums.

Und wie lange ist das Band dann? Rechnet man $100(1+t)$ für $t=e^{100}$ aus, dann ergibt das 2.6*10^45 cm = 2.6*10^40 km.
Der Durchmesser der Milchstraße ist ungefähr 10^5 Lichtjahre oder 9.6*10^12 km.

Wenn die Ameise also das Ende des Gummibands erreicht, dann ist das Gummiband so lange wie 2.8*10^28 mal der Milchstraßendurchmesser.

Dauert also, und braucht ziemlich viel Platz.

Meine Überlegungen sind die Aufbereitung dieses Artikels in der englischen Wikipedia.

Diese Aufgabe hat übrigens eine Parallele in der Astrophysik: Man ersetze die Ameise durch ein Photon. Wenn sich das Universum mit fester Geschwindigkeit ausdehnt, dann erreicht uns Licht auch von den entferntesten Galaxien. Wenn die Ausdehnungsgeschwindigkeit zunimmt, dann kann es sein, dass es Galaxien gibt, deren Licht uns nie erreicht.

Nachtrag für Nerds:
Der folgende QR-Code führt zu einer Website, die den Code aus dem Beitrag ausführt.

Es gibt auch eine Excel-Arbeitsmappe, in der man mit der Bandgeschwindigkeit experimentieren kann.

Ein bisschen Mathematik. Gesucht: Kürzestes Straßennetz

Posted by Erich Neuwirth on 23. März 2018 in Mathematische Bildung |

In meinen nahezu täglich erscheinenden #mathepuzzle(s) auf Twitter gabs gestern folgende Aufgabe (leicht modifiziert): 4 Orte bilden die Eckpunkte eines Quadrats. Die Gegend ist vollkommen flach und nicht bewachsen (stellen sie sich zum Beispiel eine Gegend in Arizona vor). Es soll eine Straßennetz angelegt werden, auf dem man von jedem Ort aus jeden anderen erreichen […]

Don’t-Smoke-Volksbegehren und NRW 2017

Posted by Erich Neuwirth on 6. März 2018 in Allgemein |

Auf addendum.org gibt es eine sehr aufschlussreiche Analyse des Zusammenhangs von Don’t-Smoke-Volksbegehren und Nationalratswahl 2017. Ich habe dazu noch eine weitere Analyse gemacht. In meiner Analyse kann man die Unterschiede zwischen den Bundesländern etwas genauer sehen.

Das Kärntner Wahlrecht und seine seltsamen Folgen

Posted by Erich Neuwirth on 6. März 2018 in Allgemein |

Bei der Kärntner Landtagswahlordnung kann passieren, dass eine Partei mit mehr Stimmen weniger Mandate bekommt. Ich habe ein paar solcher Effekte in einem Artikel im standard zusammengestellt. Eine Excel-Arbeitsmappe zum Durchrechnen verschiedener Szenarien gibts auch (zum Download).

Warum das Skalarprodukt doch nicht ganz überflüssig ist.

Posted by Erich Neuwirth on 13. Februar 2018 in Allgemein |

Armin Wolf schreibt in seinem neu eingerichteten lesenswerten Blog darüber, warum der Oberstufen-Mathematikunterricht in seiner gegenwärtigen Form seiner Meinung nach falsch läuft. Eins seiner Beispiele lautet: „Beachte: Das skalare Produkt zweier Vektoren ist kein Vektor, sondern eine reelle Zahl.“ Das steht im „Kompendium zur Maturavorbereitung“ eines aktuellen Mathe-Schulbuchs. Stimmt ganz sicher, aber wozu muss ein […]

Wählerstromanalyse Landtagswahl Niederösterreich 2018

Posted by Erich Neuwirth on 30. Januar 2018 in Allgemein |

Meine Wählerstromanalyse, die ich für ServusTV durchgeführt habe, kann man jetzt in verschiedenen Formen konsumieren. Die ganze Analyse im Web Die Nachrichtensendtung von ServusTV Artikel im standard

Ein seltsames Schachproblem

Posted by Erich Neuwirth on 27. Januar 2018 in Allgemein |

Unter meinen regelmäßig erscheinenden mathematischen Puzzles (#mathepuzzle von @neuwirthe auf Twitter) ist auch folgendes: Auf dem abgebildeten Schachbrett gibt es rote und blaue Figuren. Welche davon wären auf einem regulären Schachbrett und in einer korrekt nach den Schachregeln abgelaufenen Partie weiß und welche schwarz? Wenn ihnen die Frage seltsam vorkommt, dann haben sie wahrscheinlich recht. […]

Die Menschheit im Bodensee

Posted by Erich Neuwirth on 24. Januar 2018 in Allgemein |

In meinem täglichen Mathematik-Puzzle (#mathepuzzle von @neuwirthe auf Twitter) habe ich heute folgende Aufgabe gestellt: Wenn die gesamte Menschheit im Bodensee untertaucht, um wieviel steigt dann der Wasserspiegel. Natürlich gibt es da keine genaue Antwort, es geht um die Größenordnung: cm, mm, dm, m, 10m, 100m, km …? Welche Informationen braucht man denn, um diese […]

Nachtrag zur 130-vs-140 km/h-Rechnung

Posted by Erich Neuwirth on 14. Januar 2018 in Allgemein |

Im gestrigen Blogeintrag habe ich als Hilfsmittel Excel verwendet. Es muss nicht unbedingt Excel sein, mit anderen Tabellenkalulationsprogrammen (LibreOffice, GoogleSheets, …) gehts auch. Ich habe auch geschrieben, dass ich das Beispiel für schulgeeignet halte, allerdings nur mit Tabellenkalkulation. Ich möchte heute zeigen, wie man das Beispiel in „klassischer“ Art mit algebraischen Formeln rechnen müsste. Noch […]

130 km/h oder 140 km/h – Was ist der Unterschied beim Bremsen?

Posted by Erich Neuwirth on 12. Januar 2018 in Allgemein |

Der Minister für Verkehr, Innovation und Technologie überlegt, die Höchstgeschwindigkeit auf Autobahnen von 130 km/h auf 140 km/h zu erhöhen. Ein Tweet des VCÖ (Verkehrsclub Österreich) hat mich auf die Idee gebracht, dazu ein paar Rechnungen anzustellen. Wie wirkt sich denn die höhere Geschwindigkeit auf den Bremsweg aus? Dazu brauchen wir ein paar weitere Zahlen. […]

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