Was hat das Ausrechnen von 69 mal 81 mit mathematischer Bildung zu tun?

Posted by Erich Neuwirth on 24. Januar 2015 in Allgemein, Mathematische Bildung |

Herr Taschner bringt in seinem Artikel Was 69 mal 81 mit dem Erhalt der Handschrift zu tun hat in der Presse eine verkürzte Erklärung, wie man das Produkt 69⋅81 einfach ausrechnen kann, wenn man das Produkt 70⋅80 kennt.
Er verwendet dabei die Tatsache, dass ein Vielfaches von 81 durch 9 teilbar sein muss, und dass ein Produkt von 2 Zahlen mit den Einerstellen 1 und 9 an der Einerstelle eine 9 haben muss.

Er verwendet also einen netten „mathematischen Taschenspielertrick“, der aber tiefergehenden Einsichten in mathematische Strukturen weder erfordert noch vermittelt.

Man kann diese Aufgabe Berechne 69⋅81 wenn du 70⋅80 schon kennst aber auch dazu verwenden, etwas tiefergehende Einsichten in Operationen mit Zahlen zu vermitteln. Ausgangspunkt ist etwas wohlbekanntes, nämlich eine Ein-mal-Eins-Tabelle.

Es ist ganz klar, wie diese Tabelle zu lesen ist: In der Kopfzeile steht die Spaltennummer, in der Kopfspalte steht die Zeilennummer und in jeder Zelle steht das Produkt aus der Zeilennummer und der Spaltennummer. In der Zelle in Zeile 19 und Spalte 11 finden wir daher das Produkt 19⋅11=209.

Man kann die Tabelle auch folgendermaßen beschreiben. In jeder Zeile steht in der ersten Spalte (nach der Kopfspalte) die Zeilennummer und bei jedem Schritt nach rechts wird die Zeilennummer einmal addiert.

Gleichartiges gilt für die Spalten: In der ersten Zeile (nach der Kopfzeile) jeder Spalte steht die Spaltennummer, und bei jedem Schritt nach unten wird die Spaltennummer einmal addiert.

Wenn wir daher in einer Zeile einen Schritt nach links gehen, verringert sich das Produkt um die Zeilennummer, und wenn wir in einer Spalte einen Schritt nach oben gehen, dann verringert sich das Produkt um die Spaltennummer.

Wenn wir also mit 20⋅10=200 starten, dann sehen wir sofort, dass 19⋅10=20⋅10-10 ist (wir gehen ja in der Zehnerspalte einen Schritt nach oben). Von 19⋅10 zu 19⋅11 ist es ein Schritt nach rechts in der Elferzeile, also wissen wir sofort 19⋅11=19⋅10+19. Wir sehen also 19⋅11=19⋅10+19=20⋅10-10+19.

Wenn wir also ausgehend von einem Produkt nach rechts oben gehen, also den ersten Faktor um 1 verringern und den zweiten Faktor um 1 erhöhen, dann subtrahieren wir den zweiten Faktor (Spaltennummer) und addieren den ersten Faktor weniger 1, (die Zeilennummer der Zeile nach dem Schritt nach oben).

Mit ein paar Klammern zur Zusammenfassung schaut das so aus: 19⋅11=20⋅10-10+(20-1)

Diese Überlegung gelten für alle Zellen der Tabelle. Wenn wir die Zeilennummer mit $z$ und die Spaltennummer mit $s$ bezeichnen, dann gilt $(z-1)\cdot (s+1)=z\cdot s – s + z – 1$ Das ist die algebraische Schreibweise für das, was wir uns anhand der Struktur der Tabelle überlegt haben.
Mit diesen Überlegungen ist es ganz einfach, 69⋅81 auszurechnen.

70⋅80=5600, und einen Schritt nach oben und einen Schritt nach rechts in der Tabelle gehen (um 69⋅81 auszurechnen) heißt, dass wir 80 subtrahieren und 69 addieren müssen. Das ist gleichbedeutend damit, dass wir 11 subtrahieren.

Grundsätzliches Verständnis über die Ein-mal-Eins-Tabelle, also über den Zusammenhang zwischen Multiplikation und Addition hilfst uns also, abgekürzte Rechenverfahren zu finden.

Es gibt dazu noch eine Anekdote aus meinen Lehrveranstaltungen an der Uni.

Das sind Lehrveranstaltungen für angehende Informatiklehrer im 3. bis 5. Semester.

Ich frage da meine Studierenden: Was ist 4⋅4-3⋅5, 5⋅5-4⋅6, 8⋅8-7⋅9.
Die meisten rechnen es aus und wundern sich, dass das Ergebnis immer 1 ist.
Gelegentlich passiert das sogar mit Studenten, im Zweitfach Mathematik studieren. Nur ganz selten erkennt jemand sofort, dass das ein Sonderfall der Formel $(a+1)\cdot (a-1)=a^2-1$ ist. Die Verbindung zwischen der abstrakten algebraischen Formel und simplen Sachverhalten bei numerischem Rechnen ist also nicht in den Köpfen meiner Studierenden verdrahtet.

Natürlich ist dieses Problem (beispielhaft die Gleichung 3⋅5=4⋅4-1) ein Sonderfall unseres „Tabellenspaziergangs“. Ausgehend von einer Zelle, in der Zeilennummer und Spaltennummer gleich sind, gehen wir auch bei diesem Produkt einen Schritt nach oben und einen Schritt nach rechts.

Was können wir aus diesen Überlegungen lernen?

Zu glauben, erst in der Formelschreibweise würden mathematische Sachverhalte zu „richtiger Mathematik“ ist ein grundlegendes Missverständnis. Die Formelschreibweise ist oft nur Kurzschrift für Gleichungen, die für alle Zellen einer Tabelle gelten.

Formeln sind genauso wenig „Mathematik“ wie Notenschrift „Musik“ ist, in beiden Fällen handelt es sich nur um die Verschriftlichung von etwas anderem.

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