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Die Ameise auf dem Gummiband, oder eine seltsame Mathematikaufgabe

Posted by Erich Neuwirth on 7. April 2018 in Allgemein |

Als eines meiner #mathepuzzle auf Twitter gab es folgendes:

Eine Ameise sitzt am Ende eines 1 m langen Gummibandes und krabbelt mit einer Geschwindigkeit von 1 cm/s zum anderen Ende. Das Gummiband wird aber pro Sekunde um 1 m gedehnt. Erreicht die Ameise je das andere Ende des Gummibandes?

Erste Erklärung:
Wir modifiziern das Problem ein bisschen.
Jede volle Sekunde wird das Gummiband mit einem Ruck um 1 m gestreckt, das erste Mal schon, wenn die Ameise loskrabbelt. Das ist für die Ameise ein Nachteil, das Band früher länger ist.
Außerdem drücken wir die Position der Ameise als Anteil an der Gesamtlänge des Gummibandes aus.
Das Band wird also auf 2 m gestreckt, dann krabbelt die Ameise 1 cm, das ist $\frac{1}{200}$ der Bandlänge. also hat sie die Position $\frac{1}{200}$ der Länge des Bandes. Dann wird das Band auf 3 m gestreckt, die Ameise behält die relative Position und krabbelt wieder 1 cm, also $\frac{1}{300}$der Bandlänge und hat die relative Position $\frac{1}{200}+\frac{1}{300}$. Dann wird das Band auf 4 m gestreckt, die Ameise behält die relative Position und krabbelt wieder 1 cm, also $\frac{1}{400}$ der Bandlänge und hat die relative Position
$\frac{1}{200}+\frac{1}{200}+\frac{1}{400}$.

Nach n Schritten hat die Ameise die relative Position
$\frac{1}{100}(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ \ldots + \frac{1}{n})$

Diese Summe wird beliebig groß, also größer als jede vorgegebene Zahl, und daher kann die Ameise das Ende erreichen.

Eine andere Erklärung:
Wir bleiben bei der Modifikation, dass das Band jede volle Sekunde
ruckartig um 1 m gestreckt wird.
Wir machen am Gummiband alle 5 mm eine Markierung. Da das ganze ursprünglich 1 m lange Band jede Sekunde um 1 m länger wird, wird jedes Stück zwischen 2 Markierungen jede Sekunde um 5 mm länger.
Nehmen wir jetzt eines dieser (anfänglich) 5 mm langen Stücke her, z.B. eines, das gerade 100mm lang ist. Wenn die Ameise den Anfang dieses Stücks erreicht, dann wird das Stück einmal auf 105 mm verlängert. Dann krabbelt die Ameise 10 mm. Bleiben 95 mm. Dann wird wieder verlängert, die 95 mm werden 100 mm (sogar ein bisschen weniger, weil ein Teil der zusätzlichen 5 mm auch das 10-mm-Stück hinter der Ameise verlängert). In der nächsten Sekunde geht die Ameise wieder 10 mm, bleiben 90 mm, die werden auf 95 verlängert usw. Die Ameise hat nach 20 Sekunden das anfänglich auf 100 mm gestreckte 5-mm-Stück (das inzwischen 200 mm lang ist) hinter sich. Jedes beliebig gedehnte ursprüngliche 5 mm lange Stück wird also in endlicher Zeit absolviert. es gibt 200 solcher Stücke, also muss man die 200 Zeiten addieren, erhält eine Summe uns sieht, dass es sich ausgeht.

Ein Excel-Workbook, in dem das durchgerechnet wird, gibt es zum Herunterladen.

Die klassische mathematische Lösung

Wenn man genau wissen will, wie lange es unter den originalen Bedingungen dauert, muss man zu höherer Mathematik (Differentialgleichungen) Zuflucht nehmen.
Jetzt wirs also mathematisch anspruchsvoller!
Die Geschwindigkeit der Ameise setzt sich aus 2 Komponenten zusammen: 1 cm/s kommt vom Krabbeln, dazu kommt aber noch, dass die Ameise beim Dehnen des Gummibandes mitgenommen wird.
Wenn die Ameise also schon 1/4 des Bandes absolviert hat, ist ihre „Bandgeschwindigkeit“ 1/4 davon.
Das Band wird mit 100 cm/s gedehnt, hat also zum Zeitpunkt $t$ die Länge $100+100 t=100(1+t)$.
Ist die Ameise zum Zeitpunkt t an der Stelle x(t), dann hat sie die Bandgeschwindigkeit $100\frac{x(t)}{100(1+t)}=\frac{x(t)}{1+t}$
Die Geschwindigkeit ist die erste Ableitung des Ortsfunktion x(t), also gilt $x'(t)=1+\frac{x(t)}{1+t}$.

So etwas löst man heutzutage mit einem Computer-Algebra-Programm, zum Beispiel mit dem kostenfrei verfügbaren Maxima (bzw. wxMaxima), erhältlich von maxima.sourceforge.net/.

Hier ist der Code zur Lösung:

sol : ode2('diff(x,t)=1+x/(1+t),x,t);   
ic1(sol,t=0,x=0);

Wir erhalten die Lösung $x(t)=(t+1)\log(t+1)$

Diese Lösung der Differentialgleichung ist noch nicht die Antwort auf unser Problem,
sie gibt ja nur an, wie weit die Ameise zur Zeit t gekommen ist.

Wir überprüfen also noch, ob es einen Zeipunkt gibt, an dem die Wegstrecke der Amseise
mit der Bandlänge gleich ist. Das machen wir natürlich wieder mit Maxima.
Hier ist der Code zur Lösung:

solve((t+1)*log(t+1)=100*(1+t),t);

Wir erhalten die Lösungen

[t=%e^100-1,t=-1]

Es dauert also $e^{100}-1$=2.6*10^47 Sekunden, dann hat die Ameise das Bandende erreicht.
Wie lange ist das in anderen Zeiteinheiten?
1 Jahr hat 3.2*10^7 Sekunden, also dauert das 8.1*10^35 Jahre.
Das Alter des Universums wird derzeit auf 1.4*10^10 Jahre geschätzt, also braucht die Ameise 5.8*10^25 mal das Alter des Universums.

Und wie lange ist das Band dann? Rechnet man $100(1+t)$ für $t=e^{100}$ aus, dann ergibt das 2.6*10^45 cm = 2.6*10^40 km.
Der Durchmesser der Milchstraße ist ungefähr 10^5 Lichtjahre oder 9.6*10^12 km.

Wenn die Ameise also das Ende des Gummibands erreicht, dann ist das Gummiband so lange wie 2.8*10^28 mal der Milchstraßendurchmesser.

Dauert also, und braucht ziemlich viel Platz.

Meine Überlegungen sind die Aufbereitung dieses Artikels in der englischen Wikipedia.

Diese Aufgabe hat übrigens eine Parallele in der Astrophysik: Man ersetze die Ameise durch ein Photon. Wenn sich das Universum mit fester Geschwindigkeit ausdehnt, dann erreicht uns Licht auch von den entferntesten Galaxien. Wenn die Ausdehnungsgeschwindigkeit zunimmt, dann kann es sein, dass es Galaxien gibt, deren Licht uns nie erreicht.

Nachtrag für Nerds:
Der folgende QR-Code führt zu einer Website, die den Code aus dem Beitrag ausführt.

Es gibt auch eine Excel-Arbeitsmappe, in der man mit der Bandgeschwindigkeit experimentieren kann.

Ein bisschen Mathematik. Gesucht: Kürzestes Straßennetz

Posted by Erich Neuwirth on 23. März 2018 in Mathematische Bildung with Comments closed |

In meinen nahezu täglich erscheinenden #mathepuzzle(s) auf Twitter gabs gestern folgende Aufgabe (leicht modifiziert):

4 Orte bilden die Eckpunkte eines Quadrats.
Die Gegend ist vollkommen flach und nicht bewachsen (stellen sie sich zum Beispiel eine Gegend in Arizona vor).
Es soll eine Straßennetz angelegt werden, auf dem man von jedem Ort aus
jeden anderen erreichen kann. Wie kann man das so machen, dass die
Länge aller Straßen addiert möglichst klein ist?

Eine von einigen meiner Follower vorgeschlagene Lösung ist ein X:

Diese Grafik ist dynamisch, man kann den grünen Punkt mit der Maus bewegen. Wenn man das tut, dann kommt ein roter Punkt zum Vorschein. Den kann man auch bewegen.

Wenn man die beiden Punkte verschiebt, dann stellt man fest, dass es bessere Lösungen des Problem gibt, insbesondere diese:

Auch hier kann man den roten und den grünen Punkt verschieben.
Klickt man auf den gerundeten Doppelpfeil in der oberen rechten Ecke, dann kann man den Ausgangszustand der Grafik(en) wiederherstellen.

Wie können wir nachweisen, dass das die Lösung für das kürzeste Straßennetz ist?

Es ist aufwändig und anspruchsvoll zu zeigen, dass die beste Lösung zwei „Zwischenpunkte“ haben muss. Nehmen wir das einmal als gesichert an. Der Rest der Überlegungen geht so:
Wir zeichnen Ellipsen durch je 2 Eckpunkte und einen Zwischenpunkt.

Bewegt man den roten oder den grünen Punkt auf seiner Ellipse, dann bleibt die Summe der Abstände von seinen beiden Quadrateckpunkten gleich. Der Abstand zum andern Zwischenpunkt ändert sich. Am kleinsten wird der Abstand zwischen den beiden Zwischenpunkten, wenn beide auf der senkrechten Mittellinie des (gedachten) Quadrats liegen.
Das gilt auch dann, wenn die Ellipsen verschieden groß sind, wenn also der rote Punkt von seinen beiden Eckpunkten in Summe nicht gleich weit entfernt ist wie der grüne Punkt von seinen beiden Eckpunkten.

Jetzt fügen wir noch einen Hilfspunkt ein

und berechnen die Summe der Wegstrecken im oberen System (oranger Punkt, roter Punkt, zwei blaue Punkte) und im unteren System (oranger Punkt, grüner Punkt, zwei blaue Punkte)

Wenn eines der beiden Teilsysteme eine kleinere Wegstrecke als die andere ergibt, dann kann man das andere System so ändern, dass sie dieselbe Streckensumme ergibt. Man muss dazu nur den Zwischenpunkt dieses Systems so verschieben, dass er das Spiegelbild des „besseren“ Punktes um die waagrechte Mittelachse des Quadrats ist.

Zwischenbilanz: wenn wir das untere System (oranger Punkt, grüner Punkt, zwei blaue Punkte) durch Verschieben des grünen Punkts so einstellen, dass es die kleinste Streckensumme ergibt, dann haben wir auch die beste Lösung für das Gesamtsystem gefunden, weil wir ja den besten roten Punkt durch Spiegelung des besten grünen Punkts erhalten.

Außerdem wissen wir schon, dass der beste grüne Punkt auf der senkrechten Mittelachse des Quadrats liegen muss.

Das geänderte Problem, das wir lösen müssen, sieht also so aus:

Bestimme $x$ so, dass die Summe der 3 Wegstrecken kleinstmöglich wird. Wir sehen in der Grafik zwei rechtwinkelige Dreiecke, daher ist die Summe der 3 Wegstrecken $ \sqrt{(\frac{1}{2})^2+x^2} + \sqrt{(\frac{1}{2})^2+x^2} + (1-x) = 2\sqrt{(\frac{1}{2})^2+x^2} + (\frac{1}{2}-x)$

Das ist eine klassische Extremwertaufgabe. Die kann man ganz altmodisch mit Papier und Stift lösen. Man muss dazu die erste Ableitung bilden, die gleich 0 setzen und diese Gleichung lösen.

Man kann aber auch zur Website Wolfram Alpha gehen und dort die Aufgabe

solve derivative of 2*sqrt((1/2)^2+x^2)+(1/2)-x=0 for x

eingeben und erhält die Lösung $x=\frac{1}{2\sqrt{3}}$

In der Grafik, in der wir genau diese Lösung einzeichnen, markieren wir ein rechtwinkeliges Dreieck:

Weil die Strecke $x$ die Länge $\frac{1}{2\sqrt{3}}$ und Wegstrecke vom grünen Punkt zum Quadratpunkt rechts unten die Länge
$\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2\sqrt{3}})^2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
hat, ist die Wegstrecke vom grünen Punkt nach rechts unten doppelt so lange wie $x$. Damit ist diese Figur eine halbes gleichseitiges Dreieck, und der Winkel zwischen diesen beiden Strecken 60º. Damit ist der Winkel zwischen den beiden schrägen Wegstrecken 120º und wir haben gezeigt, wie die Lösung für das kürzeste Straßennetzwerk dieser Konfiguration aussieht.

Wie man das Problem mit alter analoger Technik lösen kann (Seifenlösung) zeigt ein YouTube-Video, auf das mich mein Twitter-Follower @behackl hingewiesen hat.

Don’t-Smoke-Volksbegehren und NRW 2017

Posted by Erich Neuwirth on 6. März 2018 in Allgemein with Comments closed |

Auf addendum.org gibt es eine sehr aufschlussreiche Analyse des Zusammenhangs von Don’t-Smoke-Volksbegehren und Nationalratswahl 2017.

Ich habe dazu noch eine weitere Analyse gemacht. In meiner Analyse kann man die Unterschiede zwischen den Bundesländern etwas genauer sehen.

Das Kärntner Wahlrecht und seine seltsamen Folgen

Posted by Erich Neuwirth on 6. März 2018 in Allgemein with Comments closed |

Bei der Kärntner Landtagswahlordnung kann passieren, dass eine Partei mit mehr Stimmen weniger Mandate bekommt. Ich habe ein paar solcher Effekte in einem Artikel im standard zusammengestellt.

Eine Excel-Arbeitsmappe zum Durchrechnen verschiedener Szenarien gibts auch (zum Download).

Warum das Skalarprodukt doch nicht ganz überflüssig ist.

Posted by Erich Neuwirth on 13. Februar 2018 in Allgemein with Comments closed |

Armin Wolf schreibt in seinem neu eingerichteten lesenswerten Blog darüber, warum der Oberstufen-Mathematikunterricht in seiner gegenwärtigen Form seiner Meinung nach falsch läuft. Eins seiner Beispiele lautet:

„Beachte: Das skalare Produkt zweier Vektoren ist kein Vektor, sondern eine reelle Zahl.“ Das steht im „Kompendium zur Maturavorbereitung“ eines aktuellen Mathe-Schulbuchs. Stimmt ganz sicher, aber wozu muss ein Maturant das nochmal unbedingt wissen?

Es gibt ein paar Gründe, das zu wissen. Und wenn der Unterricht diese Gründe nicht vermittelt, dann ist eben das das Problem, aber nicht die Tatsache an sich.

Das skalare Produkt ist ganz einfach erklärt. Man sieht es auf jeder Billa-, Merkur- oder Hofer-Rechnung: da werden für jeden Posten Mengen mit Preisen pro Einheit multipliziert und diese Gesamtpreise pro Posten addiert, und das ergibt die Gesamtsumme.

Man hat also zwei gleiche lange Zahlenkolonnen, und man multipliziert die beiden ersten Zahlen miteinander, und die beiden zweiten Zahlen, und die beiden dritte Zahlen und so weiter, und diese Produkte addiert man dann. Diese Summe ist das skalare Produkt. In Tabellenkalkulationsprogrammen (z.B. in Microsoft Excel) gibts die Funktion SUMMENPRODUKT (in der englischen Version SUMPRODUCT), die macht genau das.
Zahlenkolonnen sind Vektoren, und daher kann man sagen, dass der Gesamtpreis das skalare Produkt des Preisvektors mit dem Mengenvektor ist.

Indices (z.B. der Index der Verbraucherpreise) sind auch Produkte von Mengen mit Preisen, man kann sie mathematisch also auch als inneres Produkt verstehen.

Das skalare Produkt kommt in „anderen mathematischen Gegenden“ vor. Vektoren sind ja auch etwas geometrisches. Koordinaten sind klassischer Schulstoff, und Koordinatenvektoren sind dann eben die zusammengefassten Koordinaten. 2-dimensionale und 3-dimensionale Vektoren entsprechen dabei Punkten in der Ebene oder im Raum.
Ich gehe jetzt einmal davon aus, dass außer Streit steht, dass Geometrie und Koordinatengeometrie wesentliche Bildungsinhalte sind, die man nicht aus dem Curriculum streichen sollte.

Jetzt wirds ein bisschen „technischer“, weil man das, was kommt, nicht ganz ohne Formeln aufschreiben kann.

Eine wichtige geometrische Operation ist es, Winkel zwischen Vektoren zu berechnen. Oft stellt sich auch die Frage, ob zwei Vektoren einen rechten Winkel bilden (z.B. auf einem Wohnungsplan). Und da gibts ein sehr einfaches Hilfsmittel: Zwei Vektoren (können Zimmerwände beschreiben) bilden dann einen rechten Winkel, wenn ihr skalares Produkt den Wert 0 hat. Das können ganz beliebige Vektoren sein, sie müssen nicht parallel zu den Koordinatenachsen sein. Und das gilt auf gleiche Weise im 2-dimensionalen wie im 3-dimensionalen! Das innere Produkt hat also Eigenschaften, die in verschiedenen Geometrien (eben und räumlich) gleichartig funktionieren. Nicht sofort zu erwartende Analogien in verschiedenen Zusammenhängen zu entdecken und herauszuarbeiten ist eine der wesentlichsten Methoden der Mathematik.

In der Mathematik schreibt man das dann so auf:
Wenn $x=(x_1,x_2,…x_n)$ und $y=(y_1,y_2,…y_n)$ zwei Vektoren gleicher Länge $n$ sind, dann ist

$$ x.y=\sum_{i=1}^{n}x_i y_i $$

das innere innere Produkt dieser beiden Vektoren.

Wenn $n=2$ ist, wir also Geometrie in der Ebene betreiben, dann wird daraus

$$x.y=x_1\cdot y_1 + x_2\cdot y_2$$

Betreibt man räumliche Geometrie, dann ist $n=3$ und die Formel lautet

$$x.y=x_1\cdot y_1 + x_2\cdot y_2 + x_3\cdot y_3$$

Diese Formeln wirkt vielleicht auf manche Leser(innen)? etwas abschreckend, sie aber bedeutet nichts anderes als das, was wir oben besprochen haben: wir multiplizieren die einander entsprechenden $x$e und die $y$s miteinander und addieren alle diese Produkte. Die Formel ist nur die mathematische Kurzschrift dafür.

Das skalare Produkt ist in der Geometrie aber noch weitaus ergiebiger:
Wie berechnet man die Länge einer Strecke beziehungsweise eines Vektors:

Der Abstand der Punkte in x-Richtung ist 3, in y=Richtung 2. Daher ist der Abstand insgesamt $\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$

Unter dem Wurzelzeichen steht $3\cdot 3 + 2 \cdot 2$, also das innere Produkt $(3,2).(3,2)$. Man sagt dann auch das ist das innere Produkt des Vektors $x$ mit sich selbst.

Anmerkung: Das Produkt eines Objekts mit sich selbst ist in der Mathematik nichts Außergewöhnliches; das Quadrat einer Zahl ist das Produkt einer Zahl mit sich selbst.

Das skalare Produkt eines Vektors mit sich selbst ist also das Quadrat seiner Länge. Wieder tritt das skalare Produkt in einem neuen Kontext auf.

Die mathematische Kurzschrift dafür geht so ($|x|$ bezeichnet die Länge eines Vektors x):

$$|x|^2=x.x$$

Es kann aber noch mehr.

Wenn wir den Winkel zwischen den Strecken (oder Vektoren) $AB$ und $AC$ berechnen wollen, dann gilt für diesen Winkel $\alpha$

$$ \cos(\alpha ) = \frac{x.y}{|x||y|}$$

Das schaut jetzt schon etwas komplizierter aus. Was bedeutet es.

Auf der rechten Seite der Gleichung stehen 3 skalare Produkte, 2 davon sind aber Längen, also skalare Produkte von Vektoren mit sich selber.

Will man den Winkel finden, dann braucht man (abgesehen von einigen Ausnahmefällen) eine Tabelle oder einen Taschenrechner oder Computer.

In unserem Fall haben wir daher

$$\cos(\alpha)=\frac{3\cdot 1+2 \cdot 3}{\sqrt{2^2+3^2}\sqrt{1^2+3^2}}
=\frac{9}{\sqrt{13}\sqrt{10}}=\frac{9}{\sqrt{130}}$$

Numerisch berechnet ergibt das $\cos(\alpha)=0.7893$ und $\alpha=37.87^{\circ}$

Das skalare Produkt ist jedenfalls eine Rechenoperation, die in der Mathematik in einigen Gebieten vorkommt, bei denen man nicht gleich sieht, dass es analoge Strukturen gibt. Deswegen verdient es einen eigenen Namen und eine Analyse seiner Eigenschaften.

Es heißt auch inneres Produkt.

Wenn in der Mathematik von einem Produkt die Rede ist, dann wird in der Regel aus 2 Objekten ein drittes, gleichartiges Objekt erzeugt. Das Produkt zweier ganzer Zahlen ist eine ganze Zahl, das Produkt zweier Brüche ist wieder ein Bruch usw. Beim skalaren Produkt wird aber aus 2 Vektoren (also Zahlenkolonnen) eine einzige Zahl erzeugt. Die Merkregel, die Armin Wolf moniert, ist eine Erinnerungshilfe. Eigentlich sollte man sie gar nicht brauchen, denn wenn man mit Vektoren hantiert, dann verwendet man das Wort „Skalar“, wenn man nur von einer Zahl und nicht von einem Vektor (der aus mehreren Zahlen besteht) spricht.

Der Name „skalares Produkt“ selbst ist also schon ein sehr deutlicher Hinweis darauf, dass das Ergebnis einer Rechenoperation nicht von der gleichen Art wie die Inputs ist.

Das Problem der Schule besteht möglicherweise darin, dass solche Zusammenhänge nicht klar genug herausgearbeitet werden und daher statt Verständnis für Zusammenhänge eher das Auswendiglernen einzelner Bezeichnungen und Formeln gefördert und geprüft wird.

Das skalare Produkt spielt nicht nur als „Rechenmerkregel“ und in der Geometrie eine Rolle, in vielen statistische Verfahren kommen Rechenschritte vor, die man am einfachsten als skalares Produkt anschreiben kann. Und in der Quantenphysik spielt das skalare Produkt in vielen Formeln ebenfalls eine wichtige Rolle.

Es gibt übrigens auch ein anderes Produkt zweier Vektoren, das heißt Vektorprodukt oder Kreuzprodukt.

Aber das ist eine andere Geschichte.

Wählerstromanalyse Landtagswahl Niederösterreich 2018

Posted by Erich Neuwirth on 30. Januar 2018 in Allgemein with Comments closed |

Meine Wählerstromanalyse, die ich für ServusTV durchgeführt habe, kann man jetzt in verschiedenen Formen konsumieren.

Ein seltsames Schachproblem

Posted by Erich Neuwirth on 27. Januar 2018 in Allgemein with Comments closed |

Unter meinen regelmäßig erscheinenden mathematischen Puzzles (#mathepuzzle von @neuwirthe auf Twitter) ist auch folgendes:

Auf dem abgebildeten Schachbrett gibt es rote und blaue Figuren.

Welche davon wären auf einem regulären Schachbrett und in einer korrekt nach den Schachregeln abgelaufenen Partie weiß und welche schwarz?
Wenn ihnen die Frage seltsam vorkommt, dann haben sie wahrscheinlich recht.

Es gibt aber tatsächlich eine eindeutige Lösung. Um sie zu finden muss man nicht gut Schach spielen können, sondern nur die Regeln kennen.
Wenn sie meinen, dass die Spieler keine besonders guten Spieler sind, haben sie ebenfalls recht. Die Stellung im Spiel wurde aber durch eine Folge regelkonformer Züge erreicht.

Wenn sie weiter scrollen, dann kommen sie zur Auflösung.











Relativ schnell sieht man, dass der blaue Springer in der 3. Reihe von unten dem roten König Schach gibt. Er muss also die letzte gezogene Figur sein. Was muss man noch wissen, damit man entscheiden kann ob er„logisch“ weiß oder schwarz ist?

Weiß hat immer den ersten (Halb-)Zug. In klassischer Schachsprechweise ist ein Zug nämlich immer die Bewegung einer weißen und danach einer schwarzen Figur, die Bewegung nur einer Figur heißt Halbzug.

Wenn wir die Halbzüge durchnummerieren, dann ist jeder ungerade Halbzug ein weißer und jeder gerade ein schwarzer Halbzug. Wenn wir also herausfinden, dass es insgesamt ungerade viele Halbzüge gegeben hat, dann wissen wir, dass die zuletzt gezogene Figur weiß war, und wenn die Zahl der Halbzüge gerade war, dann ist die letzte gezogene Figut eine schwarze.

Als allererstes stellen wir fest, dass die Bauern noch nicht bewegt wurden, denn sie können nicht verlustfrei Platz tauschen.

Danach fangen wir mit den blauen Türmen rechts und links oben an.
Beide stehen am ursprünglichen Aufstellungsort. Sie könnten sich jeweils um ein Feld nach innen und dann wieder nach außen bewegt haben, und das sogar mehrfach, die Anzahl der Halbzüge insgesamt ist da gerade.

Die roten Türme können sich auch jeweils nur um ein Feld seitlich bewegt haben. Der Turm links unten steht nicht auf seinem ursprünglichen Feld, er muss also eine ungerade Zahl von Halbzügen oft bewegt worden sein, der rechte muss (analog zu den roten) gerade oft bewegt worden sein. Insgesamt sind die Türme also ungerade oft bewegt worden.

Die Könige können sich (wie die Türme) ebenfalls nur ein Feld zur Seite bewegen. In der Startaufstellung steht der weiße König links von der weißen Dame, der schwarze König rechts von der schwarzen Dame. Sie stehen auf jeden Fall in derselben Spalte des Schacbretts. In unserer Stellung stehen sie in verschiedenen Spalten. Wir wissen nicht, welcher von beiden in der „falschen“ Spalte steht, aber der in der falschen Spalte muss ungerade oft gezogen worden sein, und der andere gerade oft. Beide zusammen müssen also ungerade oft gezogen worden sein.

Jetzt noch zu den Springern. Da hilft folgende Überlegung: Die Felder auf dem Schachbrett sind ja in einenm Diagonalmuster in zwei verschiedene Farben eingefärbt. Hier das Muster:

Springer der gleichen Farbe stehen zu Spielbeginn auf Feldern verschiedener Farbe, und jeder Springer wechselt bei jedem Halbzug von einem Feld einer Farbe zu einem Feld der anderen Farbe.
In unserer Problemstellung stehen die blauen Springer auf Feldern verschiedener Farbe, wurden also zusammen gerade oft bewegt. Die roten Springer stehen auf Feldern gleicher Farbe und wurden daher ungerade oft bewegt. Alle 4 Springer wurden zusammen also ungerade oft bewegt. Andere Figuren konnten nicht bewegt werden.

Die Bilanz aller Halbzüge lautet also: Türme ungerade, Könige ungerade, Springer ungerade. Insgsamt also ungerade viele Halbzüge.

Daher ist die letzte gezogene Figur, der blaue Springer in der 3. Reihe von unten, „logisch“ eine weiße Figur.

Hier noch ein paar Tweets, die zu dieser Aufgabe eingelangt sind:

In jedem ordentlichen Schachkaffee bekommt man für sowas auf Lebenszeit Lokalverbot… 😉

Beide Damen von Pferden gefressen, ohne dass die Bauern sich bewegt haette? Wie soll denn das zustande gekommen sein?

Himmel! Ich bin ein so schlechter Schachspieler, dass ich die Startaufstellung googlen musste. Die ist nicht rotationssymmetrisch. Dann ist rot schwarz.

Besonders gefreut hat mich das:

Und jetzt, wo es spannend wird, muss ich zum Einkauf! Wartet ihr bitte auf mich? 😉

Die Menschheit im Bodensee

Posted by Erich Neuwirth on 24. Januar 2018 in Allgemein with Comments closed |

In meinem täglichen Mathematik-Puzzle (#mathepuzzle von @neuwirthe auf Twitter) habe ich heute folgende Aufgabe gestellt:

Wenn die gesamte Menschheit im Bodensee untertaucht, um wieviel steigt dann der Wasserspiegel.

Natürlich gibt es da keine genaue Antwort, es geht um die Größenordnung: cm, mm, dm, m, 10m, 100m, km …?

Welche Informationen braucht man denn, um diese Überschlagsrechnung anzustellen? Man braucht das Volumen der Menschheit und die Fläche des Bodensees.

Ja, die Fläche, nicht das Volumen des Sees!

Warum nur die Fläche? Stellen wir uns vor, wir wollen die Menschheit auf dem zugefrorenen Bodensee aufstellen? Geht sich das aus?

In der Vor-Wikipedia-Zeit konnte man mit einer Landkarte feststellen, dass der Bodensee eine Fläche von ungefähr 500 km² bedeckt. Heutzutage kann man einfach in der Wikipedia nachschlagen. Das sind 500 Millionen m² oder 0.5 Milliarden m². Laut Schätzungen gibt es derzeit knapp 8 Milliarden Menschen. Wenn wir also 16 Menschen auf 1 m² unterbringen, dann können wir alle Menschen auf dem zugefrorenen Bodensee aufstellen. Die Menschenschicht auf dem Bodensee, die den Bodensee bedeckt, ist dann ca. 1.50 m hoch.

Es spielt dabei keine Rolle, wie tief der Bodensee ist, oder, anders gesagt, das Volumen des Sees spielt keine Rolle.

Wir können auch etwas anders rechnen.

Wie groß ist eigentlich das Volumen eines Menschen? Wir wissen, dass Menschen hauptsächlich aus Wasser bestehen und daher ziemlich das selbe spezifische Gewicht haben. Man kann das auch empirisch überprüfen. Wenn man im Schwimmbad einatmet, dann treibt man auf dem Wasser, wenn man komplett ausatmet, dann geht man (fast) unter. Auch das belegt, dass das spezifische Gewicht eines Menschen ziemlich gleich mit dem spezifischen Gewicht von Wasser ist.

Wenn wir von einem Durchschnittsgewicht eines Menschen vom 75 kg ausgehen, dann hat ein Mensch also ein Volumen von 75 dm³. Vereinfachend können wir also sagen, dass 15 Menschen ungefähr ein Volumen von 1.1 m³ haben. Das Volumen der gesamten Menschheit ist daher 1.1﹒(8﹒10⁹)/15 ≈ 0.6﹒10⁹ und das ergibt auf einer Fläche von 0.5﹒10⁹ m² verteilt eine Höhe von 1.2 m.

Wenn die Menschheit jetzt untertaucht, dann verdrängt sie genau ihr eigenes Volumen an Wasser und der Wasserspiegel steigt um die berechnete Höhe.

Der Wasserspiegel würde also um ungefähr 1 m steigen.

Nachtrag zur 130-vs-140 km/h-Rechnung

Posted by Erich Neuwirth on 14. Januar 2018 in Allgemein with Comments closed |

Im gestrigen Blogeintrag habe ich als Hilfsmittel Excel verwendet.

Es muss nicht unbedingt Excel sein, mit anderen Tabellenkalulationsprogrammen (LibreOffice, GoogleSheets, …) gehts auch.

Ich habe auch geschrieben, dass ich das Beispiel für schulgeeignet halte, allerdings nur mit Tabellenkalkulation.

Ich möchte heute zeigen, wie man das Beispiel in „klassischer“ Art mit algebraischen Formeln rechnen müsste.

Noch einmal das Problem:
Zwei Autos, das langsamere mit Geschwindigkeit $V_1$, das schnellere mit Geschwindigkeit $V_2$, merken an der selben Stelle, dass sie bremsen müssen. Welche Geschwindigkeit hat das schnellere an der Stelle, an der das langsamere stehen bleibt.

Wir starten mit Parametern:
$V_1$ und $V_2$ ist die Geschwindigkeiten.
Die Reaktionszeit ist $t_0$.
Die Bremsverzögerung ist $a$.
Wir nehmen an, dass Bremsverzögerung und Reaktionszeit für beide Fahrer und beide Autos gleich sind.

Dann ist die Geschwindigkeit des langsameren Autos zum Zeitpunkt $t$ (0 ist der Zeitpunkt, an dem die Fahrer merken, dass sie bremsen müssen)
$v_1(t)=V_1- a (t-t_0)$
Genau genommen gilt die Formel nur solange, bis die Geschwindigkeit 0 beträgt.
Analog gilt natürlich für das schneller Auto
$v_2(t)=V_2 – a (t-t_0)$

Die Strecken, die die beiden Autos biz zum Zeitpunkt $t$ zurückgelegt haben, sind
$s_1(t)=V_1 t – \frac{a(t-t_0)^2}{2}$
$s_2(t)=V_2 t – \frac{a(t-t_0)^2}{2}$

Der lineare Term in diesen Formeln ist der Reaktionsweg, der quadratische der Bremsweg, die Summe heißt Anhalteweg.

Diese Formeln gelten nur nach Ablauf der Reaktionszeit und bis zum Stillstand des Autos.

Wann kommt das langsamere Auto zum Stillstand, und welche Strecke hat es bis dahin zurückgelegt?
Anders gefragt: Für welches $t=t_1$ gilt $v_1(t_1)=0$ und wie lang ist dann der Anhalteweg.

Wir lösen dazu
$V_1-a (t-t_0)=0$.
Die Lösung ist $t_1=t_0+\frac{V_1}{a}$
Der Anhalteweg ist daher
$b_1=s_1(t_1)=V_1 t_0 + \frac{V_1^2}{2 a}$

Wann erreicht das schnellere Auto den Anhaltepunkt des langsameren?
Dazu müssen wir folgende Gleichung (für $t$) lösen:
$s_2(t)=b_1$ oder ausgeschrieben
$V_2 t – \frac{a(t-t_0)^2}{2}=V_1 t_0 + \frac{V_1^2}{2 a}$

Das ist nicht mehr ganz einfach, aber da es sich um eine quadratische Gleichung handelt ist es möglich. Wir erhalten 2 Lösungen:
$t_2= t_0 + \frac{V_2}{a} – \frac{\sqrt{(v_2-v_1)(2 a t_0 + v_1 + v_2)}}{a}$
und
$t_2= t_0 + \frac{V_2}{a} + \frac{\sqrt{(v_2-v_1)(2 a t_0 + v_1 + v_2)}}{a}$

Welche der beiden Lösung passt zu unserem Problem? Analog zur Rechnung für das langsamere Auto sehen wir, dass das schnelle Auto zum Zeitpunkt $t_0 + \frac{V_2}{a}$ stehen bleibt.

Der zweite „Lösungszeitpunkt“ liegt also nach dem Zeitpunkt, wo auch das schnellere Auto bereits steht, daher können wir nur die erste Lösung verwenden.

Jetzt müssen wir nur noch den Zeitpunkt $t_2$ in die Geschwindigkeitsformel $v_2(t)$ für $t$ einsetzen, dann haben wir die Aufprallgeschwindigkeit.

$v_2(t_2)=\sqrt{(V_2-V_1)(2 a t_0 +V_1 + V_2)}$

All diese Formeln und Gleichungen gehen davon aus, dass wir in einem einheitlichen Maßsystem, also Metern (m) und Sekunden (s) rechnen. Für praktische Zwecke wollen wir aber die Geschwindigkeiten in km/h angeben. Wir müssen dazu als Geschwindigkeiten von km/h in m/s umrechnen.
Da eine Stunde 3600 Sekunden hat sind 1 m/s = 3600 m/h = 3,6 km/h und umgekehrt natürlich
1 km/h = 1/3,6 m/s.

Wenn wir jetzt die Reaktionszeit $t_0$ = 0,8 s, die Bremsverzögerung
$a$ = 7,5 m/s$^2$, $V_1$=130 km/h = 36,11 m/s und $V_2$=140 km/h = 38,89 m/s in unsere Formel einsetzen, dann ergibt das eine Aufprallgeschwindigkeit von

$v_2(t_2)$ = 15,55 m/s = 55,99 km/h

Diese Art der Darstellung ist in gewissem Sinn als abschreckendes Beispiel gedacht.

Die Umformungen sind „denkaufwendig“ und das Gleichungslösen und Termeinsetzen einfach mühselig.

Die Berechnung mit Tabellenkalkulation erscheint mir wesentlich einfacher und didaktisch weitaus ergiebiger.
Man hat beim Rechnen mit der Tabellenkalkulation auch immer Zahlen vor Augen, und bei diesen Zahlen hat man auch während des Modelliervorgangs eine Vorstellung über die Qualität der Lösung. Modellfehler entdeckt man in der Regel früher, weil man sehen kann, ob die Zahlen mit der Vorstellung von der Lösung einigermaßen zusammenpassen.

130 km/h oder 140 km/h – Was ist der Unterschied beim Bremsen?

Posted by Erich Neuwirth on 12. Januar 2018 in Allgemein with Comments closed |

Der Minister für Verkehr, Innovation und Technologie überlegt, die Höchstgeschwindigkeit auf Autobahnen von 130 km/h auf 140 km/h zu erhöhen.
Ein Tweet des VCÖ (Verkehrsclub Österreich) hat mich auf die Idee gebracht, dazu ein paar Rechnungen anzustellen.

Wie wirkt sich denn die höhere Geschwindigkeit auf den Bremsweg aus?

Dazu brauchen wir ein paar weitere Zahlen.
Wir gehen von einer Reaktionszeit vom 0.8 Sekunden aus (das ist eine „gute“ Reaktion, man findet Angaben von 1 Sekunde oder mehr).
Während der Reaktionszeit verringert sich die Geschwindigkeit nicht, die ersten 0.8 Sekunden lang fährt das Auto mit 130 km/h.

Die Bremsverzögerung wird in m/s^2 angegeben und ein realistischer Wert auf trockener Straße und mit guten Bremsen ist 7.5 m/s^2. Das bedeutet, dass die Geschwindigkeit pro Sekunde um 7.5 m/s abnimmt. Wir müssen also die Anfangsgeschwindigkeit von 130 km/h in m/s umrechnen. Eine Stunde hat 60*60=3600 Sekunden, in einer Stunde legt also ein Auto mit 1 m/s 3600 m oder 3.6 km zurück.
Geschwindigkeiten in m/s rechnet man also in km/h um, indem man sie mit 3.6 multipliziert und umgekehrt rechnet man km/h in m/s um, indem man durch 3.6 dividiert. Also sind 130 km/h (gerundet) 36.1 m/s.

Wir können die Geschwindigkeit unseres Autos zu jedem Zeitpunkt also auch in m/s ausrechnen. Das geschieht in dieser Excel-Tabelle.

Diese Excel-Tabelle verwendet nicht die Formeln, mit denen solche Probleme im Mathematikunterricht üblicherweise behandelt werden! Wir machen es einfacher.

In dieser Tabelle berechnen wir Geschwindigkeit und Fahrweg des Autos in einer Tabelle mit einem Zeitraster von Zehntelsekunden (Spalte mit der Überschrift t).

Wir wissen, dass die Geschwindigkeit bis zum Zeitpunkt 0.8 Sekunden 36.1 m/s beträgt. Danach nimmt sie pro Zehntelsekunde um 0.75 m/s ab. Die entsprechenden Werte stehen in der Tabelle in der Spalte mit dem Titel v(t) m/s.
Den Fahrweg können wir auch durch Aufaddieren der einzelnen Wegstrecken berechnen. Wir kennen ja die Geschwindigkeit zu den einzelnen Zeitpunkten. Den zurückgelegten Fahrweg von Sekunde 1.3 bis Sekunde 1.4 können wir berechnen, indem wir die mittlere Geschwindigkeit in diesem Zeitraum berechnen
(also den Mittelwert der Geschwindigkeit bei 1.3 s und bei 1.4 s) und mit der Zeit 0.1 s multiplizieren. Diese Werte stehen in der Spalte s(t) m. Da wir Geschwindigkeiten auch in km/h angeben wollen, gibt es noch die entsprechende Spalte, in der natürlich nur die Geschwindigkeit in m/s mit 3.6 multipliziert wird.

Das Auto mit 130 km/h kommt also nach 5.6 Sekunden und 116 m Bremsweg zum Stillstand.

In den Spalten daneben rechnen wir das gleiche für eine Geschwindigkeit von 140 km/h.
Die Bremszeit beträgt da 6 Sekunden und der Bremsweg 140 m. Der Unterschied ist anscheinend nicht gewaltig.

Wie schaut die Sache aber aus, wenn (der|die) Fahrer(in)? ein Hindernis gerade 116 m vorher erkannt hätte? Das Auto mit 130 km/h hätte gerade rechtzeitig gebremst. Das Auto mit 140 km/h wäre auf das Hindernis aufgefahren. Wichtige Frage: Mit welcher Geschwindigkeit wäre es aufgefahren?

Das können wir feststellen, wenn wir in der Tabelle für das Auto mit 140 km/h schauen, welche Geschwindigkeit das Auto bei einer Strecke von 116 m hat. Es sind ungefähr 56 km/h!

Wenn das schnellere Auto statt mit 140 kmh mit 160 km/h führe, dann hätte es nach 116 m eine Geschwindigkeit vom 100 km/h.
Um das herauszufinden muss man nur die Zahl 140 (in der grünen Zelle in der Tabelle) ändern und dann in der „Wegspalte“ den Wert von 116 m (oder nahe dran) suchen.

Didaktische Zusatzbemerkungen:

Für diese Art von Rechnung gibt es keine einfach handhabbaren „klassischen“ Formeln. Ein paar grundsätzliche Überlegungen und etwas Verständnis dafür, wie Zeit, Weg und Geschwindigkeit zusammenhängen erlauben es aber, die Tabelle aufzustellen, und mit dieser Tabelle kann man dann auch die „Aufschlaggeschwindigkeit“ des schnelleren Autos berechnen.

Wenn man die Geschwindigkeiten ändert, dann kann man beispielsweise auch berechnen, welche Geschwindigkeit ein Auto mit 130 km/h nach der Strecke hat, bei der ein Auto mit 100 km/h schon zum Stillstand gekommen ist.

Wenn man also Tabellenkalkulation sinnvoll einsetzt, dann kann man etwas berechnen, das ein Betrag des Mathematikunterrichts zur politischen Bildung sein kann.

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