Die Wiener Gemeinderatswahlordnung
Ich hab im standard einen Artikel zu Auswirkungen verschiedener Vorschläge zur Änderung der Wiener Gemeinderatswahlordnung geschrieben.
Dazu gibts auch eine Excel-Arbeitsmappe mit verschiedenen Szenarien zum Download.
Freitag der 13. – Wochentage, Mathematik und Statistik
Heute ist wieder einmal ein Freitag, der 13.
Damit ist viel Aberglauben verbunden.
Das interessiert uns hier aber nicht. Wir wollen wissen, ob das – nämlich dass der 13. auf einen Freitag fällt – oft vorkommt.
Und dazu müssen wir einiges rechnen.
Ausgangspunkt ist die Tatsache, dass sich das Muster „Welches Datum fällt auf welchen Wochentag“ nach 400 Jahren immer wiederholt.
Warum ist das so?
In einem Zeitraum von 400 Jahren gibt es 303 normale Jahre und 97 Schaltjahre. Es sind nicht 100 Schaltjahre weil zwar 1600, 2000 und 2400 Schaltjahre sind, 1900, 2100, 2200 und 2300 aber nicht. Durch hundert teilbare Jahre sind nämlich nur dann Schaltjahre, wenn die „Jahrhundertnummer“ durch 4 teilbar ist.
In 400 Jahren gibt es daher 365*400+97= 146097 Tage, und diese Zahl ist durch 7 teilbar. Daher sind 400 Jahre genau 146097/7=20871 Wochen.
Der 1. Jänner 1600 und der 1. Jänner 2000 fallen also auf den selben Wochentag und der ganze Zyklus Datum und Wochentag wiederholt sich nach 400 Jahren.
Daher reicht es, wenn wir das Datum-Wochentagsmuster für 400 Jahre berechnen und auswerten. Excel kann das. Sie können die entsprechende Datei hier herunterladen.
Die folgende Tabelle zeigt die entsprechende Auswertung.
In 400 Jahren gibt es 400*12=4800 Monate. Daher gibt es 4800 mal den 1., den 2. usw. bis zum 28.
Den 29. gibts in 11 der 12 Monate und im Feber auch in Schaltjahren, also 400*11+97=4497 mal.
Den 30. gibt es in allen Monaten außer dem Feber, also 4400 mal.
Den 31. gibt es nur in 7 der 12 Monate, also 400*7=2800 mal.
So weit kommen wir mit einfachen Rechnungen. Die Zuordnung des Datums zu den Wochentagen machen wir mit Excel und das ergibt eben obige Tabelle.
Wir wechseln also von der mathematischen Vorgehensweise, nämlich logisch zu überlegen und dann etwas zu rechnen, zur statistischen Vorgehensweise, nämlich die zum Problem passenden Daten zu sammeln und dann auszuwerten.
Wir sehen, dass die Tage vom 1. bis 28. zwischen 684x und 688x auf jeden der 7 Wochentage fallen. Der 13. fällt am häufigsten (688x) auf den Freitag. Das gilt aber auch für den 6., den 20. und den 27.
Was ergibt sich aus dem allen?
Der 13. fällt also öfter auf einen Freitag als auf jeden anderen Wochentag!
Das gilt allerdings auch für den 6., den 20. und den 27.
Wie zählt man Teilnehmer an Demonstrationen?
Heute gibt es in Wien Demonstrationen gegen den Akademikerball.
In Dresden und Leipzig gibt es regelmäßig LEGIDA und PEDIGA Demonstrationen.
Bei solchen Gelegenheiten gibt es immer wieder einander widersprechende Angaben über die Zahl der Teilnehmer an den Demonstrationen.
Der Mathematiker Christian Hesse hat in seinem Blog auf der Website der Zeit darüber etwas geschrieben.
Allerdings ist ihm dabei ein (mittlerweile korrigierter) Fehler unterlaufen, und außerdem kann man (glaube ich zumindest) das dort beschriebene Zählverfahren mit einer einfacheren Faustregel formulieren.
Das von Hesse beschriebene Verfahren stammt von Herbert Jacobs, einem Journalisten, der in seinem Ruhestand auch an der University of California in Berkeley gelehrt hat. Während der Anti-Vietnamkrieg-Demonstrationen in Berkeley machte er eine Beobachtung (zitiert nach Wikipedia und den dort angegebenen Quellen):
[Jacobs’s] office was in a tower that overlooked the plaza where students frequently gathered to protest the Vietnam War. The plaza was marked with regular grid line which allowed Jacobs to see how many grid squares were filled with students and how many students on average packed into each grid. After gathering data on numerous demonstrations, Jacobs came up with some rules of thumb that still are used today by those serious about crowd estimation. A loose crowd, one where each person is an arm’s length from the body of his or her nearest neighbors, needs 10 square feet per person. A more tightly packed crowd fills 4.5 square feet per person. A truly scary mob of mosh-pit density would get about 2.5 square feet per person.
Wenn man das genau in metrische Maße übersetzt, dann heißt es, dass in einer locker aufgestellten Menge eine Person etwa 0,93 m² beansprucht, in einer Menge mittlerer Dichte etwa 0,41 m² und in einer ganz dicht gedrängten Menge 0,23 m².
In der Erstfassung des Artikels waren diese Werte in cm² angegeben, und da war bei der Umrechnung eine Null verloren gegangen. Man konnte also ursprünglich lesen, dass eine Person in einer dichten Menge 230 cm² benötigt. 0,23 m² sind aber 2300 cm²! Dieser Fehler ist wahrscheinlich passiert, weil kaum jemand mit den 230 cm² eine unmittelbare Vorstellung verbindet. 0,23 m² sind ein viertel Quadratmeter, davon hat man eine Vorstellung. Mehrere hundert Quadratzentimeter sind aber nichts, womit man sofort eine Vorstellung verbindet. Man kann sich allerdings überlegen, dass ein Blatt Papier im A4-Format etwa 600 cm² Fläche hat. Bei 230 cm² pro Person müssten also mindestens 2 Personen auf einem normalen Blatt Papier stehen!
Ein Erwachsener ist aber typischerweise etwa 1/2 m breit, oder auch etwas mehr. Schulter an Schulter beanspruchen daher 2 Personen etwa einen Meter Breite, und wenn es noch ein bisschen Platz vor und hinter jeder Person gibt, dann stehen auf einem Meter auch etwa 2 Personen hintereinander.
Wäre Herr Jacobs mit dem metrischen System aufgewachsen, dann hätte er wahrscheinlich so formuliert:
In einer locker aufgestellten Menschenmenge beansprucht jede Person etwa 1 m², in einer mitteldichten Menge etwa 1/2 m², und in einer ganz dichten Menge 1/4 m².
Wenn man das so formuliert, dann kann man die Zahlen immer noch mit einer unmittelbaren Vorstellung verbinden und die Gefahr, sich um einen Faktor 10 zu verrechnen, ist wesentlich geringer.
Wenn man die Dichte der Menschenmenge (Personen pro m²) so abgeschätzt hat, dann braucht man noch die Fläche, die die Personen einnehmen, und kann sofort die Zahl der Personen berechnen.
Das geht mit Luftaufnahmen oder Fotos von einem erhöhten Standpunkt aus.
Es gibt Websites, auf denen man auf Satellitenbildern von Google Maps Flächen markieren und dann deren Inhalt berechnen lassen kann.
Man kann zum Beispiel den Heldenplatz in Wien markieren.
Die markierte Fläche ist ca. 28.000 m² groß, und man kann ausrechnen, dass dann bei einer wirklich dicht gedrängten Menschenmenge etwa 120.000 Menschen auf den Platz passen. Bei einer locker aufgestellten Menschenmenge passen etwa 30.000 Menschen auf den Platz.
Diese Überlegungen zeigen, dass die Kombination von Hausverstand (wieviele Menschen passen auf einen Quadratmeter) und Computertechnologie (mit Google-Erweiterungen kann man auf einem Plan oder Satellitenfoto markierte Flächen berechnen) es möglich macht, Zahlen, mit denen politische argumentiert wird, auf Plausibilität zu untersuchen.
Der Mathematikunterricht könnte auf diese Weise einen Beitrag zur politischen Bildung leisten!
Nachtrag: Mit der aktuellen Version von Google Maps braucht man keine Google-Erweiterung mehr. Rechts-Klick auf eine Karte (oder ein Satellitenfoto) biete eine Options Entfernung messen, und wenn man damit eine geschlossene Fläche markiert, dann wird auch der Flächeninhalt berechnet.
Mittlerweile gibt es auch ein auf Google Maps basierendes Tool, mit dem man eine Fläche auf der Landkarte markiert, die durschnittliche Zahl von Personen pro m² eingibt und dann eine Schätzung der Zahl der Personen in der Menschenmenge erhält.
Nachtrag (19. März 2017):
Hier gehts zum tool.
https://www.mapchecking.com/#48.2085870,16.3598067;48.2085668,16.3601500;48.2072371,16.3597530;48.2072169,16.3594043;3;48.2078024,16.3591421,18
Frau Griss und die Pensionserhöhung
In der Kleinen Zeitung gab es Anfang Jänner eine Kommentar von Frau Dr. Griss. Sie kritisiert darin, dass sie knapp vor Jahresende einen Brief der Regierung bekommen hat, in dem ihr eine Pensionserhöhung angekündigt wurde. Sie bekam aber ab Anfang 2015 weniger Pension als vorher.
In einem weiteren Beitrag der Zeitung selber gabs ein paar Details zu dem Problem, aber bei weitem nicht genug Information, um zu verstehen (und nachrechnen zu können), was da passiert war.
Dass Frau Griss jetzt weniger Pension bekommt als vorher hat zwei Gründe:
- Die Pensionsanpassung für 2015 beträgt 1,7%. Das gilt aber nicht bei Pensionsantritt 2011 für Pensionen bis höchstens 2.790 €. Für solche Pensionen (also höher als 2.790 € und Pensionsantritt 2011 oder später) ist die Erhöhung 3 Jahre lang gedeckelt. Ab dem 4. Jahr nach Pensionsantritt wird wieder der volle Erhöhungsprozentsatz ohne Deckelung angewendet.
- Seit 2015 gilt für Beamtenpensionen für Pensionsanteile über 6.975 € eine erhöhter Satz für die Berechnung des Pensionssicherungsbeitrags. Dieser Prozentsatz beträgt für Pensionsteile über 6.975 € 10%, über 9.300 € 20% und über 13.950 € 25%. Der Prozentsatz für Pensionsanteile unter 6.975 € hängt vom Jahr des Pensionsantritts ab, beträgt für Pensionsantritt 2011 2,15% und sinkt dann jährlich. Eine Tabelle findet man zum Beispiel hier.
Alle diese Informationen sind in der folgenden (interaktiven) Tabelle berücksichtigt. Wenn sie in die 2 umrandeten Felder die Ausgangsdaten (Pensionshöhe 2015 und Pensionsantrittszeitpunkt) eingeben, dann wird die Erhöhung oder Minderung der Pension von 2014 auf 2015 berechnet.
Frau Griss ist also doppelt „zum Handkuss“ gekommen. Sie ist anscheinend 2011 oder später in Pension gegangen, und sie hat eine Pension von mehr als 6.975 €.
Allerdings sind ihre Angaben (Pensionssicherungsbeitrag vom 90 € auf mehr als 200 € gestiegen) nicht ganz schlüssig. Wenn man 2014 einen Pensionssicherungsbeitrag von nur einer Beamtenpension bezahlt hat, dann hat diese Pension höchstens 5.000 € betragen. Dann wäre aber 2015 der erhöhte Prozentsatz ab einer Pensionshöhe nicht anwendbar und daher würde es noch zu einer (wenn auch kleinen) Pensionserhöhung kommen. Erst bei einer Pension von mehr als 7.500 € wirkt sich der erhöhte Pensionssicherungsbeitrag in Form eine Pensionsminderung aus, dann betrüge der Pensionssicherungsbeitrag für 2014 aber schon mindesten 160 €.
Was Frau Griss ärgert – die Falschinformation durch einen Brief der Regierung – betrifft jedenfalls nur Pensionisten mit sehr hohen Pensionen. Leicht verschärft wird das noch dadurch, dass die Pensionserhöhung drei Jahre lang gedeckelt ist. Die Gruppe in ähnlicher Form wie Frau Griss Betroffenen sind also Bezieher von „Luxuspensionen“, die 2011 oder später in Pension gegangen sind. Diese Gruppe erscheint mir doch überschaubar klein.
Etwas ärgerlich finde ich die Tatsache, dass zwar viele Medien über den Kommentar von Frau Griss berichtet haben, sich aber nicht die Mühe gemacht haben, zu recherchieren, was da genau dahintersteckt.
Gebildete Menschen (und davon handelt mein Blog) sollten sich wenn möglich nicht mit unvollständigen Informationen zufriedengeben. Den Dingen etwas genauer auf den Grund zu gehen und nicht nur Gehörtes oder Gelesenes wiederzugeben ist wesentlicher Teil eines ernst gemeinten Bildungsbegriffs.
Zum Schluss noch ein großes Dankeschön: Herr Mag. Haschmann aus dem BKA hat sich der Mühe unterzogen, auf meine mehrfachen Fragen immer detailliert und äußerst präzise zu antworten. Nur dank seiner Hilfe konnte ich selbstrechnende Tabelle dieses Beitrags erstellen.
Was hat das Ausrechnen von 69 mal 81 mit mathematischer Bildung zu tun?
Herr Taschner bringt in seinem Artikel Was 69 mal 81 mit dem Erhalt der Handschrift zu tun hat in der Presse eine verkürzte Erklärung, wie man das Produkt 69⋅81 einfach ausrechnen kann, wenn man das Produkt 70⋅80 kennt.
Er verwendet dabei die Tatsache, dass ein Vielfaches von 81 durch 9 teilbar sein muss, und dass ein Produkt von 2 Zahlen mit den Einerstellen 1 und 9 an der Einerstelle eine 9 haben muss.
Er verwendet also einen netten „mathematischen Taschenspielertrick“, der aber tiefergehenden Einsichten in mathematische Strukturen weder erfordert noch vermittelt.
Man kann diese Aufgabe Berechne 69⋅81 wenn du 70⋅80 schon kennst aber auch dazu verwenden, etwas tiefergehende Einsichten in Operationen mit Zahlen zu vermitteln. Ausgangspunkt ist etwas wohlbekanntes, nämlich eine Ein-mal-Eins-Tabelle.
Es ist ganz klar, wie diese Tabelle zu lesen ist: In der Kopfzeile steht die Spaltennummer, in der Kopfspalte steht die Zeilennummer und in jeder Zelle steht das Produkt aus der Zeilennummer und der Spaltennummer. In der Zelle in Zeile 19 und Spalte 11 finden wir daher das Produkt 19⋅11=209.
Man kann die Tabelle auch folgendermaßen beschreiben. In jeder Zeile steht in der ersten Spalte (nach der Kopfspalte) die Zeilennummer und bei jedem Schritt nach rechts wird die Zeilennummer einmal addiert.
Gleichartiges gilt für die Spalten: In der ersten Zeile (nach der Kopfzeile) jeder Spalte steht die Spaltennummer, und bei jedem Schritt nach unten wird die Spaltennummer einmal addiert.
Wenn wir daher in einer Zeile einen Schritt nach links gehen, verringert sich das Produkt um die Zeilennummer, und wenn wir in einer Spalte einen Schritt nach oben gehen, dann verringert sich das Produkt um die Spaltennummer.
Wenn wir also mit 20⋅10=200 starten, dann sehen wir sofort, dass 19⋅10=20⋅10-10 ist (wir gehen ja in der Zehnerspalte einen Schritt nach oben). Von 19⋅10 zu 19⋅11 ist es ein Schritt nach rechts in der Elferzeile, also wissen wir sofort 19⋅11=19⋅10+19. Wir sehen also 19⋅11=19⋅10+19=20⋅10-10+19.
Wenn wir also ausgehend von einem Produkt nach rechts oben gehen, also den ersten Faktor um 1 verringern und den zweiten Faktor um 1 erhöhen, dann subtrahieren wir den zweiten Faktor (Spaltennummer) und addieren den ersten Faktor weniger 1, (die Zeilennummer der Zeile nach dem Schritt nach oben).
Mit ein paar Klammern zur Zusammenfassung schaut das so aus: 19⋅11=20⋅10-10+(20-1)
Diese Überlegung gelten für alle Zellen der Tabelle. Wenn wir die Zeilennummer mit $z$ und die Spaltennummer mit $s$ bezeichnen, dann gilt $(z-1)\cdot (s+1)=z\cdot s – s + z – 1$ Das ist die algebraische Schreibweise für das, was wir uns anhand der Struktur der Tabelle überlegt haben.
Mit diesen Überlegungen ist es ganz einfach, 69⋅81 auszurechnen.
70⋅80=5600, und einen Schritt nach oben und einen Schritt nach rechts in der Tabelle gehen (um 69⋅81 auszurechnen) heißt, dass wir 80 subtrahieren und 69 addieren müssen. Das ist gleichbedeutend damit, dass wir 11 subtrahieren.
Grundsätzliches Verständnis über die Ein-mal-Eins-Tabelle, also über den Zusammenhang zwischen Multiplikation und Addition hilfst uns also, abgekürzte Rechenverfahren zu finden.
Es gibt dazu noch eine Anekdote aus meinen Lehrveranstaltungen an der Uni.
Das sind Lehrveranstaltungen für angehende Informatiklehrer im 3. bis 5. Semester.
Ich frage da meine Studierenden: Was ist 4⋅4-3⋅5, 5⋅5-4⋅6, 8⋅8-7⋅9.
Die meisten rechnen es aus und wundern sich, dass das Ergebnis immer 1 ist.
Gelegentlich passiert das sogar mit Studenten, im Zweitfach Mathematik studieren. Nur ganz selten erkennt jemand sofort, dass das ein Sonderfall der Formel $(a+1)\cdot (a-1)=a^2-1$ ist. Die Verbindung zwischen der abstrakten algebraischen Formel und simplen Sachverhalten bei numerischem Rechnen ist also nicht in den Köpfen meiner Studierenden verdrahtet.
Natürlich ist dieses Problem (beispielhaft die Gleichung 3⋅5=4⋅4-1) ein Sonderfall unseres „Tabellenspaziergangs“. Ausgehend von einer Zelle, in der Zeilennummer und Spaltennummer gleich sind, gehen wir auch bei diesem Produkt einen Schritt nach oben und einen Schritt nach rechts.
Was können wir aus diesen Überlegungen lernen?
Zu glauben, erst in der Formelschreibweise würden mathematische Sachverhalte zu „richtiger Mathematik“ ist ein grundlegendes Missverständnis. Die Formelschreibweise ist oft nur Kurzschrift für Gleichungen, die für alle Zellen einer Tabelle gelten.
Formeln sind genauso wenig „Mathematik“ wie Notenschrift „Musik“ ist, in beiden Fällen handelt es sich nur um die Verschriftlichung von etwas anderem.