Das Modell geht grob vereinfachend davon aus, dass einmal Gesundete nicht mehr erkranken und auch keine anderen mehr infizieren k\u00f6nnen (Todesf\u00e4lle ber\u00fccksichtigt das Modell nicht).<\/p>\n
Die Fortschreibung der Zahlen im Modell funktioniert so.
\nWir gehen davon aus, dass jede Person pro Tag eine fixe Zahl von Kontakten mit anderen Personen hat. Bei einem Kontakt zwischen einer suzeptiblen und einer infizierten Person kommt es mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit zu einer Infektion; in diesem Fall wird die suszeptible Person zur infizierten Person.
\nEine weitere Modellannahme besagt, dass jede infizierte Person nach einem fixen Zeitraum gesund wird.<\/p>\n
<\/p>\n
Die Mathematik dahinter funktioniert so:
\nWenn der Anteil der Infizierten in der Bev\u00f6lkerung $p_I$ ist und jede Person z.B. 10 Kontakte hat,
\ndann kann eine suszeptible Person 0, 1, 2 bis 10 Kontakte mit Infizierten haben. Die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr jeden dieser F\u00e4lle kann man (mit einer Binomialverteilung als ) ausrechnen.
\nDie Wahrscheinlichkeit, dass es bei insgesamt 10 Kontakten zu 3 Kontakten mit Infizierten kommt, ist dann $\\binom{10}{3}p_I^3(1-p_I)^7$.
\nWenn ein Suszeptibler 3 Kontakte mit Infizierten hat, dann kann man die Wahrscheinlichkeit daf\u00fcr, dass er infiziert wird berechenen. Diese Wahrscheinlichkeit ist dann $1-(1-p_A)^3$. Diese beiden \u00dcberlegungen kombiniert man und berechnet damit die Wahrscheinlichkeit, dass ein Suszeptibler beim aktuellen Infiziertenanteil infiziert wird.<\/p>\n
Wenn also jede Person $n$ Kontakte (pro Tag) hat, $p_I$ der Anteil der Infizierten und $p_A$ die Ansteckungswahrscheinlichkeit bei einem Konrakt zwischen Suszeptiblem und Infiziertem ist,
\ndann ist die durchschnittliche Ansteckungswahrscheinlichkeit f\u00fcr Suszeptible in der Population<\/p>\n
$$\\bar{p}=\\sum_{i=0}^{n}\\binom{n}{i}p_I^i (1-p_I)^{n-i}(1-(1-p_A)^i)$$<\/p>\n
Wenn es an einem Tag $t$ $S(t)$ Suzeptible gibt, dann werden an diesem Tag $N(t)=S(t)\\bar{p}$ davon neu infiziert, die Zahl der Suszeptiblen wird also um diese Zahl weniger und betr\u00e4gt am n\u00e4chsten Tag $S(t+1)=S(t)-N(t)$.<\/p>\n
Die Zahl der Infizierten $I(t)$ erh\u00f6ht sich um die neu Infizierten $N(t)$.
\nAndererseits werden auch Infizierte wieder gesund, und zwar alle, die vor $d$ ($d$ steht f\u00fcr Dauer der Erkrankung) Tagen neu infiziert wurden, also um $N(t-d)$. In den ersten $d$ Tagen nach Beginn der Epidemie ist die Zahl der Gesundeten nat\u00fcrlich noch 0, es ist ja noch niemand lang genug krank, um schon wieder gesund zu werden. Daher ist die Zahl der Infizierten am Tag $t+1$ $I(t+1)=I(t)+N(t)-N(t-d)$.<\/p>\n
Die Gesamtzahl der Gesundeten ist am Tag $t+1$, $G(t+1)$, ist die Zahl der Gesundeten von Vortag plus der Zahl der neu Gesundeten, also die Zahl der von $d$ Tagen neu Infizierten,
\n$G(t+1)=G(t)+N(t-d)$.<\/p>\n
Dieses Modell gibt es als Spreadsheet zum herunterlanden<\/a>.<\/p>\n
![\"\"](\"http:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/files\/2020\/03\/EpidemieVerlauf.png\")
<\/a><\/p>\n