Bei einer Spielserie muss man ein Spiel 3x hintereinander spielen. Man gewinnt eine Serie, wenn man 2x hintereinander gewinnt.<\/p>\n
Es gibt 2 Gegner, eine besseren, bei dem man mit geringerer Wahrscheinlichkeit gewinnt, und einen schw\u00e4cheren, bei dem man mit h\u00f6herer Wahrscheinlichkeit gewinnt. <\/p>\n
Man muss abwechselnd gegen die beiden Gegner spielen.<\/p>\n
Wann hat man die besseren Gewinnchancen, wenn man zuerst gegen den schw\u00e4cheren oder zuerst gegen den besseren Gegner spielt?<\/p>\n
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Es stellt sich heraus, dass man die besseren Chancen hat, wenn man zuerst gegen den besseren Gegner spielt.<\/p>\n
1. Antwort:
\nUm 2 Spiele hintereinander zu gewinnen muss man auf jeden Fall das 2. Spiel gewinnen. Dieses Spiel gewinnt man leichter, wenn man bei diesem Spiel gegen den schw\u00e4cheren Gegner spielt. Daher muss man mit dem st\u00e4rkeren Gegner beginnen.
\nDas ist keine saubere mathematische Begr\u00fcndung, aber sie mach das Ergebnis plausibel.<\/p>\n
2. Antwort:
\nUm die Serie zu gewinnen muss man auf jeden Fall das 2. Spiel und entweder das 1. oder das 3. Spiel oder beide gewinnen.
\nWenn man gegen den besseren Spieler 2x spielen kann, ist die Chance, wenigstens 1x zu gewinnen besser, als wenn man
\nauf jeden Fall gegen ihn gewinnen muss.<\/p>\n
3. Antwort:
\nEs gibt 8 m\u00f6gliche Spielserien GGG, GGV, GVG, …. (G ist Gewinn, V ist Verlust).
\nMan gewinnt bei 3 davon, n\u00e4mlich bei GGG, GGV und VGG.
\nWenn $p_B$ die Wahrscheinlichkeit gegen den besseren Gegner zu gewinnen ist, und $p_S$ die Wahrscheinlichkeit gegen den schlechteren Gegner zu gewinnen ist, dann ist $p_b < p_s$. \n \nWenn man zuerst gegen den besseren Gegner spielt, dann gewinnt man die 3er-Serie mit Wahrscheinlichkeit\n$p_b p_s p_b + p_b p_s (1-p_b) + (1-p_b) p_s p_b = p_b p_s (2-p_b)$.\nSpielt man zuerst gegen den schw\u00e4cheren Spieler, dann gewinnt man die 3er-Serie mit Wahrscheinlichkeit\n$p_s p_b p_s + p_s p_b (1-p_s) + (1-p_s) p_b p_s = p_b p_s (2-p_s)$. \n \n\nDa $p_b < p_s$ ist $p_b p_s (2-p_b) > p_b p_s (2-p_s)$ und die Wahrscheinlichkeit ist gr\u00f6\u00dfer, wenn man zuerst gegen den st\u00e4rkeren Spieler spielt.<\/p>\n
4. Antwort.
\nUm die Serie zu gewinnen muss man auf jeden Fall das 2. Spiel und mindestens 1 Spiel vom 1. und vom 3. Spiel gewinnen.
\nSpielt man zuerst gegen den besseren Gegner, dann gewinnt man mit Wahrscheinlichkeit $p_s (1-(1-p_b)^2)$.
\nSpielt man zuerst gegen den schw\u00e4cheren Gegner, dann gewinnt man mit Wahrscheinlichkeit $p_b (1-(1-p_s)^2)$.
\nEs gilt aber $p_s (1-(1-p_b)^2)=p_s p_b (2-p_b)$ und $p_s (1-(1-p_b)^2)=p_s p_b (2-p_s)$ und damit kann man wieder wie
\nin der 2. Antwort argumentieren.<\/p>\n