{"id":4192,"date":"2020-01-10T01:57:03","date_gmt":"2020-01-10T00:57:03","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/?p=4192"},"modified":"2020-01-11T16:30:02","modified_gmt":"2020-01-11T15:30:02","slug":"wie-wahrscheinlich-ist-es-mit-2-wuerfeln-eine-ungerade-augensumme-zu-wuerfeln","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/2020\/01\/10\/wie-wahrscheinlich-ist-es-mit-2-wuerfeln-eine-ungerade-augensumme-zu-wuerfeln\/","title":{"rendered":"Wie wahrscheinlich ist es, mit 2 W\u00fcrfeln eine ungerade Augensumme zu w\u00fcrfeln."},"content":{"rendered":"<p>Ich (@neuwirthe) poste regelm\u00e4\u00dfig (unter dem hashtag #mathepuzzle) mathematische R\u00e4tselaufgaben.<br \/>\nVor einigen Tagen war das folgende Aufgabe:<\/p>\n<blockquote><p>Sie w\u00fcrfeln mit 2 W\u00fcrfeln. Wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, eine ungerade Summe zu w\u00fcrfeln.<\/p><\/blockquote>\n<p>Ich habe das f\u00fcr eine ganz einfache Aufgabe gehalten, aber zu meiner \u00dcberraschung hat sich gezeigt, dass die Aufgabe f\u00fcr viele meiner Follower schwerer war als ich erwartet habe.<\/p>\n<p><!--more--><\/p>\n<p>Deshalb hier ein paar L\u00f6sungsvarianten, die von verschiedenem Vorwissen und verschiedenartiger Intuition ausgehen.<\/p>\n<p>Die wichtigste Einsicht bei dem Beispiel ist eine einfache mathematische Tatsache:<br \/>\nWenn eine Summe zweier Zahlen ungerade ist, dann muss eine der beiden gerade und eine der beiden ungerade sein, weil sowohl die Summe zweier gerader als auch die Summe zweier ungerader Zahlen eine gerade Zahl ergibt.<\/p>\n<p>Es gibt mehrerer Arten, die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen.<\/p>\n<h3>1. Vollst\u00e4ndiges Abz\u00e4hlen<\/h3>\n<p>Wir stellen uns jetzt vor, dass wir zuerst mit einem <font color=\"red\">roten<\/font> und dann mit einem <font color=\"green\">gr\u00fcnen<\/font> W\u00fcrfel w\u00fcrfeln.<\/p>\n<p><iframe src=\"https:\/\/player.vimeo.com\/video\/384203708?title=0&#038;byline=0\" width=\"600\" height=\"562\" frameborder=\"0\" allow=\"autoplay; fullscreen\" allowfullscreen><\/iframe><\/p>\n<p>Von den insgesamt 36 m\u00f6glichen Kombinationen haben also 18 eine ungerade Summe, daher ist die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr eine ungerade Summe $\\frac{18}{36}=\\frac{1}{2}$<\/p>\n<h3>2. Systematisches Abz\u00e4hlen<\/h3>\n<p>Wir brauchen entweder eine Kombination <font color=\"red\">U<\/font><font color=\"green\">G<\/font> oder eine Kombination <font color=\"red\">G<\/font><font color=\"green\">U<\/font><\/p>\n<p>F\u00fcr <font color=\"red\">U<\/font>, <font color=\"green\">U<\/font>,<font color=\"red\">G<\/font> und <font color=\"green\">G<\/font> gibt es jeweils 3 M\u00f6glichkeiten. Jedes <font color=\"red\">U<\/font> kann mit jedem <font color=\"green\">G<\/font> kombiniert werden, also gibt es $3\\cdot 3=9$ M\u00f6glichkeiten f\u00fcr <font color=\"red\">U<\/font><font color=\"green\">G<\/font>. Ebenso kann jedes <font color=\"red\">G<\/font> mit jedem <font color=\"green\">U<\/font> kombiniert werden, also gibt es auch  $3\\cdot 3=9$ M\u00f6glichkeiten f\u00fcr <font color=\"red\">G<\/font><font color=\"green\">U<\/font>.  <\/p>\n<p>F\u00fcr <font color=\"red\">U<\/font><font color=\"green\">G<\/font> und <font color=\"red\">G<\/font><font color=\"green\">U<\/font> zusammengenommen      erhalten wir daher eine Wahrscheinlichkeit von $\\frac{9+9}{36}=\\frac{18}{36}=\\frac{1}{2}$<\/p>\n<h3>3. Multiplikation von Anteilen und Wahrscheinlichkeiten<\/h3>\n<p><font color=\"red\">U<\/font>, <font color=\"green\">U<\/font>,<font color=\"red\">G<\/font> und <font color=\"green\">G<\/font> sind jeweils die H\u00e4lfte aller <font color=\"red\">roten<\/font> beziehungsweise <font color=\"green\">gr\u00fcnen Zahlen<\/font>.<br \/>\nF\u00fcr <font color=\"red\">U<\/font><font color=\"green\">G<\/font> kombinieren wir also die H\u00e4lfte der <font color=\"red\">roten<\/font> mit der H\u00e4lfte der <font color=\"green\">gr\u00fcnen<\/font> Zahlen. So erhalten wir $\\frac{1}{2}\\cdot \\frac{1}{2}=\\frac{1}{4}$, also ein Viertel aller M\u00f6glichkeiten.<br \/>\nF\u00fcr <font color=\"red\">G<\/font><font color=\"green\">U<\/font> kombinieren wir ebenso jeweils die die H\u00e4lfte der <font color=\"red\">roten<\/font> mit der H\u00e4lfte der <font color=\"green\">gr\u00fcnen<\/font> Zahlen und erhalten daher ebenso $\\frac{1}{2}\\cdot \\frac{1}{2}=\\frac{1}{4}$, also ein Viertel aller M\u00f6glichkeiten. Zusammengenommen ist das daher  $\\frac{1}{4}+\\frac{1}{4}=\\frac{1}{2}$ und damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit $\\frac{1}{2}$<\/p>\n<h3>3. Schrittweise Wahrscheinlichkeiten<\/h3>\n<p>Wenn der <font color=\"red\">rote W\u00fcrfel<\/font> gefallen ist, kann das Ergebnis <font color=\"red\">U<\/font> oder <font color=\"red\">G<\/font> sein.<br \/>\nIn beiden F\u00e4llen ist die Wahrscheinlichkeit, dass der <font color=\"green\">gr\u00fcne W\u00fcrfel<\/font> die Summe auf eine ungerade Zahl erg\u00e4nzt, $\\frac{1}{2}$. Weil das in beiden F\u00e4llen $\\frac{1}{2}$ ist, ist es auch insgesamt $\\frac{1}{2}$.<\/p>\n<p>Wenn man diese Argumentation zuspitzt, dann sieht man, dass man die Wahrscheinlichkeit $\\frac{1}{2}$ immer noch erh\u00e4lt, wenn einer der beiden W\u00fcrfel unfair und der andere fair ist.<\/p>\n<div class=\"tweet_button139\" style=\"float: right; margin-left: 10px;\"><a href=\"http:\/\/twitter.com\/share\" rel=\"nofollow\" class=\"twitter-share-button\" data-url=\"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/2020\/01\/10\/wie-wahrscheinlich-ist-es-mit-2-wuerfeln-eine-ungerade-augensumme-zu-wuerfeln\/\" data-text=\"Wie wahrscheinlich ist es, mit 2 W\u00fcrfeln eine ungerade Augensumme zu w\u00fcrfeln. - Bildung und Statistik\" data-count=\"vertical\" data-lang=\"de\" data-via=\"neuwirthe\"  data-related=\"\"><\/a><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Ich (@neuwirthe) poste regelm\u00e4\u00dfig (unter dem hashtag #mathepuzzle) mathematische R\u00e4tselaufgaben. Vor einigen Tagen war das folgende Aufgabe: Sie w\u00fcrfeln mit 2 W\u00fcrfeln. Wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, eine ungerade Summe zu w\u00fcrfeln. Ich habe das f\u00fcr eine ganz einfache Aufgabe gehalten, aber zu meiner \u00dcberraschung hat sich gezeigt, dass die Aufgabe f\u00fcr viele meiner Follower [&hellip;]<\/p>\n<div class=\"tweet_button139\" style=\"float: right; margin-left: 10px;\"><a href=\"http:\/\/twitter.com\/share\" rel=\"nofollow\" class=\"twitter-share-button\" data-url=\"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/2020\/01\/10\/wie-wahrscheinlich-ist-es-mit-2-wuerfeln-eine-ungerade-augensumme-zu-wuerfeln\/\" data-text=\"Wie wahrscheinlich ist es, mit 2 W\u00fcrfeln eine ungerade Augensumme zu w\u00fcrfeln. - Bildung und Statistik\" data-count=\"vertical\" data-lang=\"de\" data-via=\"neuwirthe\"  data-related=\"\"><\/a><\/div>","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4192"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=4192"}],"version-history":[{"count":64,"href":"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4192\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4290,"href":"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4192\/revisions\/4290"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=4192"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=4192"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=4192"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}