{"id":3369,"date":"2019-10-24T10:28:46","date_gmt":"2019-10-24T08:28:46","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/?p=3369"},"modified":"2019-10-24T13:17:37","modified_gmt":"2019-10-24T11:17:37","slug":"puzzle-ueberlappende-quadrate","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/2019\/10\/24\/puzzle-ueberlappende-quadrate\/","title":{"rendered":"Puzzle: \u00dcberlappende Quadrate"},"content":{"rendered":"<p>Auf Twitter habe ich folgendes Puzzle publiziert:<\/p>\n<p>In einem Quadrat mit 1 m Seitenl\u00e4nge werden 2 Quadrate mit 1\/2 m Seitenl\u00e4nge an zuf\u00e4lligen Stellen gezeichnet. Die kleineren Quadrate liegen innerhalb des gro\u00dfen Quadrats.<br \/>\nDie Seiten der kleineren Quadrate sind parallel (bzw. im rechten Winkel) zu den Seiten des gro\u00dfen Quadrats.<br \/>\nWie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden kleineren Quadrate \u00fcberlappen?<br \/>\nWie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, wenn die kleineren Quadrate<br \/>\ndie Seitenl\u00e4nge 1\/3 m haben? Und wie gro\u00df bei 1\/4 m?<\/p>\n<p>Gefunden habe ich dieses Puzzle auf der Website <a href=\"https:\/\/www.braingle.com\/brainteasers\/29898\/overlapping-squares.htmlhttp:\/\/\" title=\"https:\/\/www.braingle.com\/brainteasers\/\">https:\/\/www.braingle.com\/brainteasers\/<\/a><\/p>\n<p><!--more--><\/p>\n<p>Im folgenden Applet kann man die Quadrate verschieben (an den blau markierten Mittelpunkten).<br \/>\nDie Seitenl\u00e4nge der Quadrate kann man mit den Schieberegler ganz oben ver\u00e4ndern.<\/p>\n<p><iframe scrolling=\"no\" title=\"Overlap\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/umm9wrxw\/width\/600\/height\/600\/border\/888888\/sfsb\/true\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/false\/rc\/false\/ld\/false\/sdz\/false\/ctl\/false\" width=\"600px\" height=\"600px\" enableShiftDragZoom=\"false\" style=\"border:0px;\"> <\/iframe><\/p>\n<p>Bei einer Seitenl\u00e4nge von 1\/2 m \u00fcberlappen die Quadrate nur dann nicht, wenn eines davon ganz ab der Oberkante des gro\u00dfen Quadrats und das andere an der Unterkante anliegt, oder wenn eines an der rechten und das andere an der linken Kante des gro\u00dfen Quadrats anliegt. Wenn beide kleineren Quadrate zuf\u00e4llig zu liegen kommen, dann ist die Wahrscheinlichkeit daf\u00fcr 0. In allen anderen Konfigurationen \u00fcberlappen sie, daher ist die Wahrscheinlichkeit f\u00fcrs \u00dcberlappen 1.<\/p>\n<p>Wenn die Seitenl\u00e4nge der kleineren Quadrate gr\u00f6\u00dfer als 1\/2 m ist und beide im gro\u00dfen Quadrat liegen, dann \u00fcberlappen sie immer.<\/p>\n<p>Damit bleibt nur der Fall, dass die Seitenl\u00e4nge kleiner als 1\/2 ist. (Wir lassen ab jetzt die Ma\u00dfeinheit m weg). <\/p>\n<p>Wenn ein kleines Quadrat innerhalb des gro\u00dfen Quadrats liegt, dann ist der Mittelpunkt des Quadrats mindestes eine halbe Seitenl\u00e4nge von der oberen und der unteren Seite des gro\u00dfen Quadrats entfernt (senkrecht gemessen), und ebenso mindestens eine halbe Seitenl\u00e4nge von der rechten und der linken Seite (waagrecht gemessen). Der Mittelpunkt eines kleinen Quadrats liegt also in einem Quadrat mit Seitenl\u00e4nge $1-s$ innerhalb des gro\u00dfen Quadrats. Mit der Checkbox \u201eGrenze f\u00fcr Mittelpunkte\u201c wird dieses Quadrat im Applet oben sichtbar.<\/p>\n<p>Die beiden kleinen Quadrate \u00fcberlappen genau dann, wenn der Abstand ihrer Mittelpunkte waagrecht gemessen und senkrecht gemessen jeweils kleiner ist als die Seitenl\u00e4nge der Quadrate.<br \/>\nWenn man die Checkbox \u201eAbst\u00e4nde\u201c aktiviert, dann werden diese beiden Abst\u00e4nde angezeigt und gr\u00fcn oder rot gef\u00e4rbt, je nachdem, ob sie gr\u00f6\u00dfer oder kleiner als die Seitenl\u00e4nge sind.<\/p>\n<p>Damit k\u00f6nnen wir die urspr\u00fcngliche Aufgabe umformulieren, n\u00e4mlich so:<br \/>\nWie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei in einem Quadrat der Seitenl\u00e4nge $1-s$ zuf\u00e4llig gew\u00e4hlte Punkte sowohl waagrecht als auch senkrecht einen Abstand von weniger als $s$ haben.<\/p>\n<p>Bei zuf\u00e4lliger Wahl von zwei Punkte in einem Quadrat sind die senkrechten und die waggrechten Abst\u00e4nde voneinander unabh\u00e4ngig.<br \/>\nWir berechnen daher die Wahrscheinlichkeit daf\u00fcr, dass zwei zuf\u00e4llig  auf einer Strecke der L\u00e4nge $1-s$ gew\u00e4hlte Punkte einen Abstand von weniger als $s$ haben.<br \/>\nDiese Wahrscheinlichkeit gilt dann sowohl f\u00fcr die waagrechten als auch f\u00fcr die senkrechten Abst\u00e4nde. Als Folge ist das Quadrat dieser Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit, die wir suchen, n\u00e4mlich dass die zwei Mittelpunkte sowohl waagrecht als auch senkrecht einen Abstand von weniger als $s$ haben. <\/p>\n<p>Das folgende Applet hilft dabei, die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr die Punkte auf der Strecke zu berechnen.<br \/>\nDie Punkte $x$ und $y$ k\u00f6nnen mit der Maus verschoben werden.<br \/>\nDie Strecke zwischen $x$ und $y$ \u00e4ndert die Farbe<br \/>\nje nach dem Abstand der beiden Punkte. Sie ist gr\u00fcn, wenn der Abstand kleiner als $s$ ist und rot, wenn der Abstand gr\u00f6\u00dfer oder gleich $s$ ist. Das rot-gr\u00fcne Quadrat hat die Seitenl\u00e4nge $1-s$.         <\/p>\n<p><iframe scrolling=\"no\" title=\"OverlapProbs\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/tjpe3vj4\/width\/600\/height\/600\/border\/888888\/sfsb\/true\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/false\/rc\/false\/ld\/false\/sdz\/false\/ctl\/false\" width=\"600px\" height=\"600px\" enableShiftDragZoom=\"false\" style=\"border:0px;\"> <\/iframe><\/p>\n<p>$y&#8217;$ ist der an der Diagonale gespiegelte Punkt $y$.<br \/>\nMan erkennt, dass der Abstand zwischen $x$ und $y$ genau dann kleiner als $s$ ist, wenn der Punkt $(x,y)$ im gr\u00fcnen Teilbereich des Quadrats liegt.<br \/>\nDie Wahrscheinlichkeit, dass der Abstand zwischen $x$ und $y$ kleiner als $s$ ist, ist daher der Anteil der gr\u00fcnen Fl\u00e4che an der Gesamtfl\u00e4che des Quadrats.<\/p>\n<p>Das gesamte Quadrat hat die Fl\u00e4che $(1-s)^2$.<br \/>\nDie beiden roten Dreiecke bilden zusammengelegt  ein Quadrat mit der Seite $1-2s$, also ist die rote Fl\u00e4che $(1-2s)^2$.<br \/>\nDie gr\u00fcne Fl\u00e4che ist daher $(1-s)^2-(1-2s)^2=s(2-3s)$<br \/>\nDer Anteil der gr\u00fcnen Fl\u00e4che an der Quadratfl\u00e4che ist also $\\frac{s(2-3s)}{(1-s)^2}$<\/p>\n<p>Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei zuf\u00e4llig gew\u00e4hlte Punkte auf einer Strecke der L\u00e4nge $1-s$ einen Abstand von weniger als $s$ haben.<\/p>\n<p>F\u00fcr die urspr\u00fcngliche Aufgabe m\u00fcssen sowohl der waagrechte als auch der senkrechte Abstand der Quadratmittelpunkte kleiner als $s$ sein, daher m\u00fcssen wir<br \/>\ndie Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr waagrecht und f\u00fcr senkrecht miteinander multiplizieren. <\/p>\n<p>Die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Quadrate des urspr\u00fcnglichen Problems \u00fcberlappen, betr\u00e4gt daher<\/p>\n<p>$$<br \/>\n\\left(\\frac{s(2-3s)}{(1-s)^2}\\right)^2<br \/>\n$$<\/p>\n<p>F\u00fcr $s=\\frac{1}{3}$  ergibt das $\\frac{9}{16}=0.563$ und f\u00fcr $s=\\frac{1}{4}$ ergibt das $\\frac{25}{81}=0.309$<\/p>\n<p>Die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr alle Werte von $s$ zwischen 0 und $\\frac{1}{2}$ zeigt folgendes Schaubild:<\/p>\n<p><a href=\"http:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/files\/2019\/10\/Prob_overlap.png\"><img src=\"http:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/files\/2019\/10\/Prob_overlap.png\" alt=\"\" \/><\/a><\/p>\n<div class=\"tweet_button90\" style=\"float: right; margin-left: 10px;\"><a href=\"http:\/\/twitter.com\/share\" rel=\"nofollow\" class=\"twitter-share-button\" data-url=\"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/2019\/10\/24\/puzzle-ueberlappende-quadrate\/\" data-text=\"Puzzle: \u00dcberlappende Quadrate - Bildung und Statistik\" data-count=\"vertical\" data-lang=\"de\" data-via=\"neuwirthe\"  data-related=\"\"><\/a><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf Twitter habe ich folgendes Puzzle publiziert: In einem Quadrat mit 1 m Seitenl\u00e4nge werden 2 Quadrate mit 1\/2 m Seitenl\u00e4nge an zuf\u00e4lligen Stellen gezeichnet. 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