In meiner Serie #mathepuzzle auf Twitter habe ich folgende Aufgabe gestellt:<\/p>\n
\nKartoffel bestehen zu 99% aus Wasser. 100 kg Kartoffel werden so dehydriert, dass sie danach nur mehr 98% Wassergehalt haben. Wie schwer ist diese dehydrierte Menge Kartoffel? <\/p>\n<\/blockquote>\n
Die Argumentation geht so: <\/p>\n
Vor der Dehydrierung besteht die Kartoffelmenge aus 99 kg Wasser und 1 kg Trockenmasse. Bei der Dehydrierung \u00e4ndert sich das Gewicht der Trockenmasse nicht, das des Wassers nat\u00fcrlich schon. Nach der Dehydrierung gibt es also nach wie vor 1 kg Trockenmasse. Da es da nur mehr 98% Wasser gibt, gibt es 2% Trockenmasse. 1 kg sind also 2% des gesamten Gewichts. Daher ist das gesamte Gewicht 50 kg.<\/p>\n
Auf Twitter hat @FrauHellman richtig argumentiert, dass das eine lebensfremde Aufgabe sei, weil der Wasseranteil bei Kartoffeln deutlich niedriger ist. Twitter-Recherche ergibt, dass er bei 78% liegt.<\/p>\n
<\/p>\n
Mit diesen Werten muss man die Aufgabe so umschreiben, und dann ist das scheinbare Paradoxon nicht so deutlich sichtbar.<\/p>\n
Daher habe ich (als Didaktiker) versucht, eine realistische Ausgangssituation zu finden, bei der auch die Grundidee des Gedankengangs klar erhalten bleibt.<\/p>\n
Eine der wasserreichsten Gem\u00fcsesorten sind Salatgurken. Sie haben einen Wassergehalt von 97%.<\/p>\n
Wir k\u00f6nnen dann die Aufgabe so formulieren:<\/p>\n
\nSalatgurken bestehen zu 97% aus Wasser. 100 kg Salatgurken werden so dehydriert, dass sie danach nur mehr 94% Wassergehalt haben. Wie schwer ist diese dehydrierte Menge Salatgurken? <\/p>\n<\/blockquote>\n
Die Argumentation geht diesmal so:
\nVor der Dehydrierung besteht die Salatgurkenmenge aus 97 kg Wasser und 3 kg Trockenmasse. Bei der Dehydrierung \u00e4ndert sich das Gewicht der Trockenmasse nicht, das des Wassers nat\u00fcrlich schon. Nach der Dehydrierung gibt es also nach wie vor 3 kg Trockenmasse. Da es nur mehr 94% Wasser gibt, gibt es 6% Trockenmasse. 3 kg sind also 6% des gesamten Gewichts (oder 1 kg ist 2% des gesamten Gewichts). Daher ist das gesamte Gewicht 50 kg.<\/p>\nIch denke, dass es relativ leicht ist zu erschlie\u00dfen, dass, wenn 1 kg 2% des ganzen ist, das ganze 50 kg sein muss.
\nZu erschlie\u00dfen, dass, wenn 3 kg 6% des ganzen ist, das ganze 50 kg sein muss, erscheint merkbar schwieriger. <\/p>\nMan kann entweder noch den Zwischenschritt: wenn 3 kg 6% sind, dann ist 1 kg 2% machen oder mit einem Rechenausdruck arbeiten:
\n$$
\n\\text{Gesamtmenge}=3 \\text{kg} \\cdot \\frac{1}{\\frac{6}{100}} = 3\\cdot \\frac{100}{6} \\text{kg} = 50 \\text{kg}
\n$$<\/p>\nEs ist bei Prozentrechnungen sehr sinnvoll, zu verwenden, dass x% eine abgek\u00fcrzte Schreibweise f\u00fcr $\\frac{x}{100}$ ist. Das wollen wir im folgenden verwenden. Wir schreiben also 0.99 statt 99%. <\/p>\n
Dann lautet die allgemeine Form der Aufgabe so:<\/p>\n
\nUnser Gem\u00fcse besteht zu einem Anteil von $x$ aus Wasser. Eine Menge $m_1$ dieses Gem\u00fcses wird so dehydriert, dass sie danach nur mehr einen Anteil von $y$ Wasser enth\u00e4lt. Wie schwer ist diese dehydrierte Menge Salatgurken? <\/p>\n<\/blockquote>\n
(Im Kartoffelbeispiel w\u00e4re $x=0.99$ und $y=0.98$, im Salatgurkenbeispiel w\u00e4re $x=0.97$ und $y=0.94$) <\/p>\n
Jetzt argumentieren wir so. Vor der Dehydrierung ist das Gewicht der Trockenmasse $m_1\\cdot (1-x)$.
\nBei der Dehydrierung wird aus der Gesamtmasse $m_1$ die kleinere Gesamtmasse $m_2$. Nach der Dehydrierung ist das Gewicht der Trockenmasse $m_2\\cdot (1-y)$. Da das Gewicht der Trockenmasse gleich bleibt gilt $m_1\\cdot (1-x)=m_2\\cdot (1-y)$. Umgeformt ergibt das die Gleichung<\/p>\n$$m_2=m_1\\frac{1-x}{1-y}$$<\/p>\n
$x$, der Wasseranteil vorher, ist gr\u00f6\u00dfer als $y$, der Wasseranteil nachher. Daher ist $1-x$, der Trockenmasseanteil vorher, kleiner als $1-y$, der Trockenmasseanteil nachher und es ist daher $\\frac{1-x}{1-y} < 1$ und daher auch $m_2 < m_1$.<\/p>\n
Die algebraische Darstellung ist also mit der sachlich begr\u00fcndeten Tatsache, dass das Gesamtgewicht kleiner wird, in Einklang.<\/p>\n
Allerdings ist die Algebraisierung der Aufgabe durchaus anspruchsvoll. Ich habe dazu Papier und Bleistift ben\u00f6tigt, nur per Kopfrechnung habe ich das nicht geschafft.<\/p>\n
Die urspr\u00fcnglichen Aufgaben mit konkreten Zahlen dagegen kann man leicht mit Kopfrechnen l\u00f6sen.<\/p>\n
Meiner Meinung nach illustriert dieses Beispiel, dass man mathematische Denkmuster zun\u00e4chst an konkreten Zahlenbeispielen entwickeln und erst danach in einer algebraischen Darstellung behandeln soll.<\/p>\n
Ich kenne noch ein weiteres Beispiel, wo m\u00f6glicherweise eine ungl\u00fcckliche Wahl der Zahlen in der Ausgangsformulierung die Einsicht in die L\u00f6sung des Problems deutlich erschwert. Es ist das Paradoxon von Achilles und der Schildkr\u00f6te.<\/p>\n
Die klassische Formulierung lautet so. <\/p>\n
\nAchilles und die Schildkr\u00f6te machen ein Wettrennen \u00fcber 300m. Achilles l\u00e4uft 10x so schnell wie die Schildkr\u00f6te. Daher bekommt die Schildkr\u00f6te eine Vorgabe von 100m. Wo \u00fcberholt Achilles die Schildkr\u00f6te?<\/p>\n<\/blockquote>\n
Das Paradoxon besteht darin, dass argumentiert wird (schon Zenon von Elea im alten Griechenland machte das so), dass Achilles die Schildkr\u00f6te nie \u00fcberholt. Wenn er die 100m gelaufen ist, ist die Schildkr\u00f6te schon 10m weiter. Wenn er diese 10m gelaufen ist, ist die Schildkr\u00f6te 1m weiter, wenn er diesen 1m gelaufen ist, ist die Schildkr\u00f6te 10cm weiter usw.<\/p>\n
W\u00e4re Achilles nur doppelt so schnell wie die Schildkr\u00f6te, dann w\u00e4re unmittelbar einsichtig, dass dann, wenn die Schildkr\u00f6te 100m gelaufen ist, Achilles 200m gelaufen ist und er sie daher genau dort \u00fcberholt. Wenn er 10x schneller ist, muss er sie schon vorher \u00fcberholen.<\/p>\n
In diesem Fall muss man also \u00fcberlegen, wann die Strecke des Achilles dieselbe ist wie die Strecke der Schildkr\u00f6te. Wenn die Schildkr\u00f6te die Strecke $x$ zur\u00fcckgelegt hat, dann hat Achilles die Strecke $10\\cdot x$ zur\u00fcckgelegt. Wenn die Schildkr\u00f6te die Strecke $x$ zur\u00fcckgelegt hat, dann ist sie $100+x$ vom Start des Achilles entfernt. An dem Punkt, wo Achilles die Schildkr\u00f6te \u00fcberholt, muss also die Gleichung $100+x=10\\cdot x$ gelten. Die L\u00f6sung ist $x=\\frac{100}{9}$. Also \u00fcberholt Achilles die Schildkr\u00f6te, wenn sie $\\frac{100}{9}=11.111111…\\text{m}$ gelaufen ist. Achilles ist dann $111.11111…\\text{m}$ gelaufen.<\/p>\n
Die Aufgabe ist dramatisch einfacher zu l\u00f6sen, wenn Achilles doppelt so schnell ist wie die Schildkr\u00f6te, als im klassischen Fall, wenn er 10x so schnell ist.<\/p>\n
Auch das betrachte ich als Beleg daf\u00fcr, dass es ein sehr wichtiges didaktisches Anliegen ist, bei Aufgaben mit Zahlen, die eine Idee erkennbar machen sollen, die Zahlen so zu w\u00e4hlen, dass die eigentliche Idee nicht durch relativ aufw\u00e4ndige Umformungen so verdeckt wird, dass ihr Kern nur mehr schwer erkennbar wird.<\/p>\n