In meinen #mathepuzzle-Tweets habe ich unl\u00e4ngst folgendes Puzzle gepostet:<\/p>\n
\nBei welcher Temperatur sind der Wert auf der Celsius-Skala und auf der Fahrenheit-Skala gleich?
\nZusatzaufgabe: Ersetze Celsius durch Reaumur und l\u00f6se das neue Problem.<\/p>\n<\/blockquote>\n<\/p>\n
Die klassische Methode (die man in der Schule lernt) ist, eine Gleichung aufzustellem und die zu l\u00f6sen.<\/p>\n
Die Umrechnungsformel lautet <\/p>\n
$F=\\frac{9}{5}C+32$ <\/p>\n
Wenn der Celsius-Wert und der Fahrenheit-Wert gleich sein sollen, dann m\u00fcssen wir die Gleichung<\/p>\n
$C=\\frac{9}{5}C+32$ <\/p>\n
l\u00f6sen. Die L\u00f6sung lautet $C=-40$.<\/p>\n
Wir h\u00e4tten auch die umgekehrte Umrechnungsformel nehmen k\u00f6nnen:<\/p>\n
$C=\\frac{5}{9}(F-32)$<\/p>\n
Dann m\u00fcssen wir die Gleichung <\/p>\n
$F=\\frac{5}{9}(F-32)$<\/p>\n
l\u00f6sen und erhalten die L\u00f6sung $F=-40$.<\/p>\n
Was machen wir eigentlich, wenn wir eine der beiden Gleichungen l\u00f6sen?
\nWir haben eine Rechenvorschrift, die aus einem Input-Wert einen Output-Wert erzeugt.
\nIn der Mathematik hei\u00dft so etwas eine Funktion. Die Fahrenheit\u2192Celsius-Umrechnung wird durch die Funktion $f(x)=\\frac{5}{9}(x-32)$ beschrieben.<\/p>\nBei mathematischen Funktion wird ziemlich oft $x$ zur Bezeichnung des Inputs der Funktion verwendet.
\nMan kann sich eine Funktion als kleine Maschine vorstellen, die aus einem Input (der Zahl $x$), einen Output (die Zahl $f(x)$) erzeugt und der Rechenausdruck (in unserem Fall $\\frac{5}{9}(x-32)$) beschreibt, wie die Maschine den Output aus dem Input erzeugt.<\/em><\/p>\nDie Frage, wann die Umrechnungsformel Fahrenheit\u2192Celsius f\u00fcr Celsius (den Output) denselben Wert wie Fahrenheit (den Input) hat, ist also die Fragen, wann die Umrechnungsfunktion bei einem bestimmten Input genau Input-Wert wieder als Output produziert. Wir suchen also einen Wert $x$, f\u00fcr den der Output $f(x)$ gleich dem Input $x$ ist, wo also gilt $f(x)=x$. So einen Wert nennt man Fixpunkt der Funktion $f$.<\/p>\n
Und jetzt machen wir etwas, was Mathematiker eher nicht tun, Informatiker und\/oder Programierer aber ziemlich oft: Wir geben unseren Funktionen sprechende Namen.<\/p>\n
$\\textit{FtoC}(x)=\\frac{5}{9}(x-32)$<\/p>\n
$\\textit{CtoF}(x)=\\frac{9}{5}x+32$<\/p>\n
Etwas suggestiver k\u00f6nnen wir die Umrechnungen auch so aufschreiben:<\/p>\n
$x \\overset{\\textit{FtoC}}{\\mapsto} \\frac{5}{9}(x-32)$<\/p>\n
und<\/p>\n
$x \\overset{\\textit{CtoF}}{\\mapsto} \\frac{9}{5}x+32$<\/p>\n
Eine konkrete Umrechnung k\u00f6nnen wir dann so aufschreiben<\/p>\n
$\\textit{FtoC}(68)=20$ oder
\n$68 \\overset{\\textit{FtoC}}{\\mapsto} 20$<\/p>\nMan kann (zun\u00e4chst als mathematische Spielerei) die Umrechnungsfunktion auf das Ergebnis noch einmal anwenden:<\/p>\n
$68 \\overset{\\textit{FtoC}}{\\mapsto} 20 \\overset{\\textit{FtoC}}{\\mapsto} -6.66$<\/p>\n
und das sogar mehrfach tun<\/p>\n
$68 \\overset{\\textit{FtoC}}{\\mapsto} 20 \\overset{\\textit{FtoC}}{\\mapsto} -6.66 \\overset{\\textit{FtoC}}{\\mapsto} -21.48 \\overset{\\textit{FtoC}}{\\mapsto} -29.71$<\/p>\n
Im folgenden Excel-Arbeitsblatt wird diese Iteration noch viel \u00f6fter wiederholt.<\/p>\n