![\"\"](\"http:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/files\/2019\/06\/MagicSquare00.png\")
<\/a><\/p>\nEs geht bei den Aufgaben nat\u00fcrlich darum, die leeren K\u00e4stchen so mit Zahlen zu f\u00fcllen, dass alle Zeilensummen, alle Spaltensummen und die Summen \u00fcber beide Diagonalen gleich sind.<\/p>\n
Die Aufgabe links oben hatte das Kind gel\u00f6st. Bei der Aufgabe rechts oben gabs einen (leider nicht richtigen) L\u00f6sungsversuch. Bei der Aufgabe links unten fand das Kind keine L\u00f6sung, und die Eltern auch nicht. Deshalb der Hilferuf auf Twitter.<\/p>\n
Das ist nicht weiter verwunderlich, denn die Aufgabe ist (so wie die Aufgabe rechts oben) nicht l\u00f6sbar!<\/p>\n
Wie kann man das zeigen?<\/p>\n
Gehen wir es als Mathematiker gleich allgemeiner an, statt der gegebenen Aufgabe<\/p>\n
untersuchen wir Aufgaben, wo alle Summen und die Zahl in der Mitte vorgegeben sind, ohne diese Zahlen schon festzulegen:<\/p>\n Wir bilden jetzt eine Summe aus Zeilen, Spalten und Diagonalen und beginnen mit der Diagonale von links oben nach rechts unten:<\/p>\n Die Summe der blau markierten Felder ist nat\u00fcrlich s.<\/p>\n Jetzt addieren wir die andere Diagonale:<\/p>\n Die Summe ist 2\ufe52s, und in der Summe der beiden Diagonalen steckt s 2x drinnen.<\/p>\n Jetzt addieren wir noch die mittlere Spalte:<\/p>\n Diese Summe (Beide Diagonalen + mittlere Spalte) ist 3\ufe52s und die Zahl z in der Mitte steckt 3x in Dieser Summe drinnen.<\/p>\n Jetzt ziehen wir die erste und die dritte Zeile ab:<\/p>\n Dann bleibt von unserer ganzen Summe: Nur die Zahl in der Mitte \u00fcber, und sie kommt 3x vor.<\/p>\n Also gibts bei solchen Aufgaben nur dann eine L\u00f6sung, wenn alle Summen das Dreifache der Zahl in der Mitte sind.<\/p>\n Das ist bei der Aufgabe im Schulbuch nicht der Fall, daher kann man die Aufgabe nicht l\u00f6sen.<\/p>\n Wir k\u00f6nnen aber aus dem, was wir uns gerade \u00fcberlegt haben, noch mehr folgern.<\/p>\n Nehmen wir die mittlere Zeile her:<\/p>\n Wir wissen schon, dass die Zeilensumme das dreifache der mittleren Zahl sein muss.<\/p>\n Wenn da beispielsweise im orangen K\u00e4stchen z-2 steht, dann muss im gr\u00fcnen K\u00e4stchen z+2 stehen (nur so erhalten wir die Summe 3z)<\/p>\n Zu dieser Zeile geh\u00f6rt also eine \u201eAbweichung\u201c, das ist eine Zahl, die auf der einen Seite zu z addiert und auf der anderen Seite von z abgezogen wird. Ein besonderer Fall ist der, wo alle Summen 0 sein sollen und daher auch 0 im mittleren K\u00e4stchen steht,<\/p>\n Nennen wir die 4 Abweichungszahlen a, b, c und d, Damit auch die oberste Zeile die vorgegebene Summe 0 hat muss a+b+c=0 sein und damit die linke Spalte Summe 0 hat muss a-d-c=0 sein.<\/p>\n Das geht zum Beispiel so:<\/p>\n Durch Drehen um 90\u00ba, 180\u00ba und 270\u00ba kann man 3 weitere L\u00f6sungen draus machen, und durch Spiegeln um die waagrechte und senkrechte Mitte sowie um die beiden Diagonalen kann man 4 weitere L\u00f6sungen draus machen. Wenn als Abstandszahlen nur 1, 2, 3 und 4 erlaubt sind, dann sind das alle L\u00f6sungen, die es gibt (das kann man durch Ausprobieren nachpr\u00fcfen).<\/p>\n Wenn man zu allen Zahlen dieses Quadrats dieselbe Zahl addiert, dann sind wieder alle Summen gleich (zu allen Summen kommt 3x die addierte Zahl dazu), und so kann man alle Quadrate mit der Summeneigenschaft erhalten. Da alle Summen um das dreifache einer Zahl gr\u00f6\u00dfer werden gibts derartige Zahlenquadrate nur f\u00fcr durch 3 teilbare Summen.<\/p>\n Wenn wir in das mittlere K\u00e4stchen 5 schreiben und die Tabelle mit denselben Abstandszahlen bilden, dann erhalten wir:<\/p>\n Dieses Quadrat hat eine besondere Eigenschaft, es kommen alle Zahlen von 1 bis 9 genau einmal vor.<\/p>\n Solche Quadrate nennt man Magische Quadrate, und in der Wikipedia findet man dazu mehr<\/a> Informationen.<\/p>\n P.S.: Die Aufgabe rechts oben ist nicht (mit ganzen Zahlen) l\u00f6sbar, weil ein Drittel von 23 keine ganze Zahl ist.<\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n
\nDiagonale links oben \u2192 rechts unten +
\nDiagonale rechts oben \u2192 links unten +
\nmittlere Spalte –
\nerste Zeile –
\ndritte Zeile<\/p>\n<\/a><\/p>\n
\nGenauso muss es f\u00fcr die mittlere Spalte und f\u00fcr die beiden Diagonalen Abweichungszahlen geben.<\/p>\n
\ndann haben wir folgendes Quadrat:<\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n