{"id":2997,"date":"2019-05-04T16:01:36","date_gmt":"2019-05-04T14:01:36","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/?p=2997"},"modified":"2019-05-13T17:27:28","modified_gmt":"2019-05-13T15:27:28","slug":"mandatszuteilung-nach-dhondt-spielereien-mit-dem-eu-wahl-2014-ergebnis","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/2019\/05\/04\/mandatszuteilung-nach-dhondt-spielereien-mit-dem-eu-wahl-2014-ergebnis\/","title":{"rendered":"Mandatszuteilung nach D&#8217;Hondt <br> Spielereien mit dem EU-Wahl-2014-Ergebnis"},"content":{"rendered":"<p>Bei der EU-Wahl 2014 wurden 18 Mandate vergeben.<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th style=\"text-align: center;\">\u00d6VP<\/th>\n<th style=\"text-align: center;\">SP\u00d6<\/th>\n<th style=\"text-align: center;\">FP\u00d6<\/th>\n<th style=\"text-align: center;\">GR\u00dcNE<\/th>\n<th style=\"text-align: center;\">NEOS<\/th>\n<th><\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">5<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">5<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">4<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">3<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Das Verfahren, mit dem die Mandate aus den Stimmen errechnet werden, ist das Verfahren nach d&#8217;Hondt.<\/p>\n<p>Wie funktioniert das?<br \/>\nDie \u00fcbliche Beschreibung ist relativ kompliziert, und man versteht meist nicht, wie sie zustandekommt.<\/p>\n<p>Das Prinzip dahinter ist einfach: Bestimme die gr\u00f6\u00dftm\u00f6gliche Wahlzahl, mit der du noch alle Mandate vergeben kannst und verteile dann die Mandate mit dieser Wahlzahl.<\/p>\n<p>Da stellt sich die Frage: Was ist eine Wahlzahl?<br \/>\nEine Wahlzahl legt fest, f\u00fcr wieviele Stimmen eine Partei ein Mandat bekommt.<br \/>\nIst die Wahlzahl 150.000, dann bekommt eine Partei mit weniger als 150.000 Stimmen kein Mandat,<br \/>\nmit 150.000 bis 299.999 Stimmen ein Mandat, mit 300.000 bis 449.999 Stimmen 2 Mandate usw.<br \/>\nEine Partei mit 350.000 Stimmen bekommt demnach (bei einer Wahlzahl vom 150.000) 2 Mandate und hat 50.000 unverbrauchte Stimmen.<br \/>\nDiese Stimmen hei\u00dfen auch Reststimmen.<\/p>\n<p>Wenn man die Wahlzahl kennt, dann<br \/>\ndividiert man nach diesem Varfahren zun\u00e4chst die Stimmenzahlen der Parteien durch die Wahlzahl. Dieser Quotient (also das Divisionsergebnis) ist in den meisten F\u00e4llen keine ganze Zahl. Das Divisionergebnis wird dann abgerundet und die abgerundete (ganze) Zahl ist die Zahl von Mandaten, die der betreffenden Partei zugewiesen werden. Zieht man von der Stimmenzahl der Partei das Produkt der Wahlzahl mit der Mandatszahl ab, dann ist diese Differenz die Zahl der Reststimmen.<\/p>\n<p>Die Stimmenzahlen der Parteien bei der EU-Wahl 2014 waren<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th style=\"text-align: center;\">\u00d6VP<\/th>\n<th style=\"text-align: center;\">SP\u00d6<\/th>\n<th style=\"text-align: center;\">FP\u00d6<\/th>\n<th style=\"text-align: center;\">GR\u00dcNE<\/th>\n<th style=\"text-align: center;\">NEOS<\/th>\n<th><\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">761896<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">680180<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">556835<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">410089<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">229781<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Bei einer Wahlzahl von 200.000 w\u00e4re die Mandatsverteilung<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th style=\"text-align: center;\">\u00d6VP<\/th>\n<th style=\"text-align: center;\">SP\u00d6<\/th>\n<th style=\"text-align: center;\">FP\u00d6<\/th>\n<th style=\"text-align: center;\">GR\u00dcNE<\/th>\n<th style=\"text-align: center;\">NEOS<\/th>\n<th><\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">3<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">3<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">2<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">2<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Es w\u00fcrden also (bei einer Wahlzahl von 200.000) insgesamt 11 Mandate vergeben.<\/p>\n<p>Bei einer Wahlzahl von 100.000 w\u00e4re die Mandatsverteilung<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th style=\"text-align: center;\">\u00d6VP<\/th>\n<th style=\"text-align: center;\">SP\u00d6<\/th>\n<th style=\"text-align: center;\">FP\u00d6<\/th>\n<th style=\"text-align: center;\">GR\u00dcNE<\/th>\n<th style=\"text-align: center;\">NEOS<\/th>\n<th><\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">7<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">6<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">5<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">4<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">2<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Es also w\u00fcrde (bei einer Wahlzahl von 100.000) insgesamt 24 Mandate vergeben.<\/p>\n<p>Bei der EU-Wahl 2014 mussten genau 18 Mandate vergeben werden.<br \/>\nWie findet man eine Wahlzahl, bei der man genau eine vorgegebene Zahl von Mandaten vergeben kann?<\/p>\n<p>Durch Herumprobieren kann man herausfinden, dass 130.000 als Wahlzahl \u201efunktioniert\u201c, mit dieser Wahlzahl werden genau 18 Mandate vergeben.<\/p>\n<p><iframe src=\"https:\/\/onedrive.live.com\/embed?resid=495062CF0D0DB8FB%212138&amp;authkey=%21AIR-EmfDfFRt41U&amp;em=2&amp;wdAllowInteractivity=False&amp;AllowTyping=True&amp;Item='Experimental'!A1%3AF10&amp;wdDownloadButton=True&amp;wdInConfigurator=True\" width=\"580\" height=\"250\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/p>\n<p><em>Anmerkung: Einmal in die Tabelle klicken l\u00e4sst den Erl\u00e4uterungstext \u00fcber Cookies verschwinden und zeigt die ganze Tabelle.<\/em><\/p>\n<p>Mit der Wahlzahl 130.000 kann man alle 18 Mandate vergeben. Allen Parteien bleiben Reststimmen, also kann man mit einer etwas gr\u00f6\u00dferen Wahlzahl (z.B. 131.000) auch noch alle Mandate vergeben.<\/p>\n<p>Auch bei Wahlzahlen von 135.000 und 136.000 werden genau 18 Mandate vergeben.<br \/>\nBei eine Wahlzahl von 136.500 werden aber nur mehr 17 Mandate vergeben.<\/p>\n<p>Also liegt zwischen 136.000 und 136.500 die gr\u00f6\u00dfte Wahlzahl, bei der gerade noch 18 Mandate vergeben werden.<\/p>\n<p>Wie k\u00f6nnen wir die finden?<\/p>\n<p>Bei einer Wahlzahl vom 136.000 bleiben der SP\u00d6 nur mehr wenige Reststimmen, n\u00e4mlich 180.<br \/>\nWie hoch kann denn die Wahlzahl werden, damit der SP\u00d6 genau 0 Reststimmen bleiben.<br \/>\nKlarerweise ist das bei einer Wahlzahl von $\\frac{680.180}{5}=136.036$ der Fall.<br \/>\nWenn die Wahlzahl genau ein F\u00fcnftel der Stimmen der SP\u00d6 ist, dann ergibt die Division Stimmenzahl durch Wahlzahl genau 5 und es bleiben keine Reststimmen. Sobald die Wahlzahl nur ganz wenig gr\u00f6\u00dfer w\u00e4re, erg\u00e4be die Division nur mehr 4 Mandate.<\/p>\n<p>Wenn wir also m\u00f6glichst wenig Restimmen haben wollen, dann erreichen wir das, wenn eine Partei 0 Reststimmen hat, und das ist dann der Fall, wenn die Stimmenzahl einer Partei ganz genau ein Vielfaches der Wahlzahl ist oder &#8211; anders gesagt &#8211; die Wahlzahl der Quotient der Stimmenzahl einer Partei und einer ganzen Zahl (der Mandatszahl dieser Partei) ist. Wenn wir also f\u00fcr alle Parteien folgende Zahlen berechnen: Stimmenzahl, Stimmenzahl\/2, Stimmenzahl\/3, Stimmenzahl\/4, &#8230;.. Stimmenzahl\/Gesamtmandatszahl, dann ist die Wahlzahl eine dieser Zahlen. Wir werfen alle diese Zahlen \u201ein einen Topf\u201c, sortieren sie (absteigend) der Gr\u00f6\u00dfe nach und nennen diese Zahlenreihen Quotientenreihe.<\/p>\n<p>Sind 2 Mandate zu vergeben, dann gibt es 2 M\u00f6glichkeiten: die st\u00e4rkste Partei bekommt alle beiden Mandate oder die beiden st\u00e4rksten Parteien bekommen je ein Mandat.<\/p>\n<p>Wann bekommt die st\u00e4rkste Partei beide Mandate? Wenn sie mehr als doppelt so viele Stimmen als die zweitst\u00e4rkste Partei hat, dann funktionierte die H\u00e4lfte ihrer Stimmen als Wahlzahl. Alle anderen Parteien haben weniger Stimmen als diese Wahlzahl, daher bekommen die anderen Parteien keine Mandate und die st\u00e4rkste Partei bekommt 2 Mandate. Hat die zweitst\u00e4rkste Partei mehr als die H\u00e4lfte der Stimmen der ersten Partei, dann funktioniert ihre Stimmenzahl als Wahlzahl. Sie bekommt 1 Mandat, und der Quotient der Stimmen der st\u00e4rksten und der zweitst\u00e4rksten Partei ist kleiner als 2 (die st\u00e4rkste Partei hat weniger als doppelt so viel Stimmen wie die erste Partei), also bekommt die st\u00e4rkste Partei auch nur ein Mandat.<br \/>\nIn beiden m\u00f6glichen F\u00e4llen ist also die zweitgr\u00f6\u00dfte Zahl aus der Quotientenreihe die Wahlzahl.<\/p>\n<p>Wenn 3 Mandate zu vergeben sind, dann kommen nur die 3 stimmenst\u00e4rksten Parteien f\u00fcr ein Mandat in Frage. Es gibt dann 3 M\u00f6glichkeiten der Aufteilung: 3\/0\/0, 2\/1\/0 und 1\/1\/1.<br \/>\nHat die st\u00e4rkste Partei mehr als 3x so viele Stimmen als jede der beiden anderen Parteien, dann funktioniert 1\/3 der Stimmen dieser Partei als Wahlzahl. Beide anderen Parteien haben dann weniger Stimmen als die Wahlzahl, die Division der Stimmen der st\u00e4rksten Partei durch die Wahlzahl geht sich genau aus und die st\u00e4rkste Partei bekommt alle 3 Mandate.<br \/>\nHat die st\u00e4rkste Partei mehr als doppelt so viele Stimmen als die zweitst\u00e4rkste (und daher auch die drittst\u00e4rkste) Partei, aber weniger als 3x so viele Stimmen, dann funktioniert die Stimmenzahl der zweitst\u00e4rksten Partei als Wahlzahl. Die Division der Stimmenzahl der st\u00e4rksten Partei durch diese Wahlzahl ergibt eine Zahl zwischen 2 und 3, daher erh\u00e4lt diese Partei 2 Mandate. Die zweitst\u00e4rkste Partei erh\u00e4lt (ihre Stimmenzahl ist ja die Wahlzahl) genau ein Mandat.<br \/>\nIst die Stimmenzahl der st\u00e4rksten Partei kleiner als die doppelte Stimmenzahl der zweitst\u00e4rksten, dann h\u00e4ngt das Mandatsergebnis von der Stimmenzahl der drittst\u00e4rksten Partei ab. Ist die Stimmenzahl der st\u00e4rksten Partei gr\u00f6\u00dfer als das Doppelte der Stimmenzahl der drittst\u00e4rksten Partei, dann funktioniert die H\u00e4lfte der Stimmenzahl der st\u00e4rksten Partei als Wahlzahl. Die st\u00e4rkste Partei bekommt 2 Mandate, die zweitst\u00e4rkste 1, und die drittst\u00e4rkste (ihre Stimmenzahl ist ja geringer als die Wahlzahl) kein Mandat.<br \/>\nIn allen F\u00e4llen ist die Wahlzahl die dritte Zahl in der Quotientenreihe.<\/p>\n<p>Beispiel:<br \/>\nBei einer Stimmenverteilung von 90000\/50000\/40000 ergibt die Wahlzahl 45000 eine Mandatsverteilung von 2\/1\/0.<br \/>\nBei einer Stimmenverteilung von 90000\/50000\/48000 ergibt die Wahlzahl 48000 eine Mandatsverteilung von 1\/1\/1.<\/p>\n<p>Diese \u00dcberlegungen kann man f\u00fcr h\u00f6here Mandatszahlen mathematisch formalisieren. Der Algorithmus zur Mandatsvergabe lautet dann:<br \/>\nMan bilde die Quotientenreihe und verwende die Zahl, die an der Stelle steht, die der Zahl der zu vergebenden Mandate entspricht, als Wahlzahl.<\/p>\n<p>In der folgenden Tabelle k\u00f6nnen sie die Zahlen in den gelb markierten Zellen \u00e4ndern und so verschiedene Szenarien ausprobieren.<\/p>\n<p><iframe src=\"https:\/\/onedrive.live.com\/embed?resid=495062CF0D0DB8FB%212138&amp;authkey=%21AIR-EmfDfFRt41U&amp;em=2&amp;wdAllowInteractivity=False&amp;AllowTyping=True&amp;Item='3%20Parteien'!A1%3AH15&amp;wdDownloadButton=True&amp;wdInConfigurator=True\" width=\"581\" height=\"345\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/p>\n<p>Es kann passieren, dass 2 oder mehr Parteien gleichen Anspruch auf ein Mandate haben.<br \/>\nEin Beispiel: Partei A hat 100.000 Stimmen, Partei B und Partei C je genau 50.000 Stimmen und es sind 3 Mandate zu vergeben.<br \/>\nDann ist die drittgr\u00f6\u00dfte Zahl in der Quotientenreihe 50.000, die viertgr\u00f6\u00dfte aber ebenfalls. In so einem Fall wird meist durch das Los entschieden, wer das strittige Mandat erh\u00e4lt.<\/p>\n<p>Zum <a href=\"https:\/\/1drv.ms\/x\/s!Avu4DQ3PYlBJkF2A1L5fVXFkurAH\">Download gibts eine Excel-Arbeitsmappe mit dem d&#8217;Hondt&#8217;schen Verfahren<\/a> f\u00fcr das Ergebnis der EU-Wahl 2014. Man kann dort auch die Stimmenzahlen ver\u00e4ndern und die Auswirkungen auf das Mandatsergebnis beobachten.<\/p>\n<p>Man kann in dieser Arbeitsmappe z.B. nachpr\u00fcfen, dass die Gr\u00fcnen mit 30.000 Stimmen weniger 1 Mandat weniger bekommen<br \/>\nh\u00e4tten (das Mandat w\u00e4re zur \u00d6VP gewandert).<br \/>\nDie \u00d6VP hatte mit 60.000 1 Mandat mehr (auf Kosten der SP\u00d6) bekommen.<\/p>\n<h3>Mathematische Erkl\u00e4rung<\/h3>\n<p>Dieser Abschnitt wendet sich nur an Leser, die einigerma\u00dfen flie\u00dfend im Decodieren und \u00dcbersetzen der algebraischen Schreibweise sind.<\/p>\n<p>$S_i$ mit $i=1\\ldots k$ seien die Stimmen der Partei $i$<\/p>\n<p>$q_{i,j}=\\frac{S_i}{j}$ seien die Folge der Parteienquotienten.<\/p>\n<p>$q_{(h)}$ seien die \u201ezusammengelegten und der Gr\u00f6\u00dfe nach geordneten\u201d Parteienquotienten, es sei also $q_{(1)}$ der gr\u00f6\u00dfte aller Parteienquotienten, $q_{(2)}$ der zweitgr\u00f6\u00dfte usw. Wir nennen sie Gesamtquotientenreihe.<\/p>\n<p>Wir nehmen an, dass alle Quotienten voneinander verschieden sind.<\/p>\n<p>$w$ sei einer der Parteienquotienten, und zwar $w=\\frac{S_I}{m_I}$. Wir suchen f\u00fcr alle Parteien $i$ jenes $m_i$ f\u00fcr das $\\frac{S_i}{m_i} \\gt w$ und $\\frac{S_i}{m_i+1} \\lt w$.<br \/>\nAusnahme: F\u00fcr $i=I$ sei $m_I$ die Zahl mit $\\frac{S_I}{m_I}=w$.<\/p>\n<p>$M$ sei die Summe dieser $m_i$, $M=\\sum_{i=1}^{k}m_i$<\/p>\n<p>Dann gilt f\u00fcr $j=1\\ldots m_i$ die Ungleichung $\\frac{S_i}{j} \\geq w$ und weiters gilt $\\frac{S_i}{m_i+1} \\lt w$<\/p>\n<p>Das ist \u00e4quivalent mit $m_i w \\leq S_i$ und $(m_i+1) w \\gt S_i$<\/p>\n<p>In der Sprache der Wahlarithmetik bedeutet das, dass bei einer Wahlzahl $w$ die Partei $i$ mit $S_i$ Stimmen $m_i$ Mandate erh\u00e4lt und dass insgesamte $M$ Mandate vergeben werden.<\/p>\n<p>F\u00fcr alle $i$ und $j \\le m_i$ gilt $q_{i,j} \\geq w$, und es gibt $M$ dieser Parteiquotienten. Die sind gleichzeitig auch die $M$ gr\u00f6\u00dften $q_{(h)}$ und es gilt $q_{(h)}\\geq w$ f\u00fcr $h \\leq M$. Daher ist $w$ die $M$-gr\u00f6\u00dfte Zahl in der Gesamtquotientenreihe.<\/p>\n<div class=\"tweet_button136\" style=\"float: right; margin-left: 10px;\"><a href=\"http:\/\/twitter.com\/share\" rel=\"nofollow\" class=\"twitter-share-button\" data-url=\"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/2019\/05\/04\/mandatszuteilung-nach-dhondt-spielereien-mit-dem-eu-wahl-2014-ergebnis\/\" data-text=\"Mandatszuteilung nach D'Hondt <br> Spielereien mit dem EU-Wahl-2014-Ergebnis - Bildung und Statistik\" data-count=\"vertical\" data-lang=\"de\" data-via=\"neuwirthe\"  data-related=\"\"><\/a><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Bei der EU-Wahl 2014 wurden 18 Mandate vergeben. \u00d6VP SP\u00d6 FP\u00d6 GR\u00dcNE NEOS 5 5 4 3 1 Das Verfahren, mit dem die Mandate aus den Stimmen errechnet werden, ist das Verfahren nach d&#8217;Hondt. Wie funktioniert das? 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