{"id":2833,"date":"2018-12-30T17:14:53","date_gmt":"2018-12-30T16:14:53","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/?p=2833"},"modified":"2018-12-30T17:34:56","modified_gmt":"2018-12-30T16:34:56","slug":"wieviele-6-stellige-zahlen-kann-man-mit-4-ziffern-schreiben","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/2018\/12\/30\/wieviele-6-stellige-zahlen-kann-man-mit-4-ziffern-schreiben\/","title":{"rendered":"Wieviele 6-stellige Zahlen kann man mit 4 Ziffern schreiben?"},"content":{"rendered":"<h3>Ein bisschen kombinatorisches Denken<\/h3>\n\n\n\n\nIch habe unl\u00e4ngst in meiner Twitterserie #mathepuzzle folgende Aufgabe gestellt:\n\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote\">132324 ist eine 6-stellige Zahl, in der nur 4 verschiedene Ziffern vorkommen. Nennen wir so etwas eine 6-stellig 4-ziffrige Zahl. Wieviele 6-stellige 1-ziffrige, 2-ziffrige, &#8230;, 5-ziffrige und 6-ziffrige Zahlen gibt es? F\u00fchrende Nullen sind erlaubt.<\/p><\/blockquote>\n\n\n\n\nWie kann man das herausfinden?\n\n\n\nMathematiker neigen dazu, solche Probleme gleich allgemeiner anzugehen.\n\n\n\n\u00dcberlegen wir also, welche verwandten F\u00e4lle wir leicht l\u00f6sen k\u00f6nnen.<br>1-stellig 1-ziffrig ist einfach, da gibt es genau die 10 Zahlen 0, 1, 2, &#8230;, 9<br>2-stellig 1-ziffrig geht auch nur 10x, 00, 11, 22, &#8230; 99 und das gilt f\u00fcr eine beliebige Zahl von Stellen. Es gibt f\u00fcr jedes $n$ 10 $n$-stellig 1-ziffrige Zahlen; wir k\u00f6nnen ja jede $n-1$-stellige 1-ziffrige Zahl nur unter Verwendung der einen bereits verwendeten Ziffer zu einer $n$-stelligen 1-ziffrigen Zahl verl\u00e4ngern.\n\n\n\nWir wissen also jetzt, dass es 10 2-stellige 1-ziffrige Zahlen gibt. Da es insgesamt 100 2-stellige Zahlen gibt, gibt es 90 2-stellig 2-ziffrige Zahlen.\n\n\n\nWir k\u00f6nnen die Anzahl der Zahlen mit lauter verschiedenen Ziffern f\u00fcr jede beliebige Stellenzahl ausrechnen. F\u00fcr die erste Stelle gibt es 10 M\u00f6glichkeiten, jede dieser 1-stelligen Zahlen kann auf 9 Arten zu einer 2-stellig 2-ziffrigen Zahl verl\u00e4ngert werden. <br>Jede dieser 90 2-stellig 2-ziffrigen Zahlen kann auf 8 Arten zu einer 3-stellig 3-ziffrigen Zahl verl\u00e4ngert werden, also gibt es $10\\cdot 9\\cdot 8=720$ 3-stellig 3-ziffrige Zahlen. <br>4-stellig 4-ziffrige Zahlen gibt es daher $10\\cdot 9\\cdot 8\\cdot 7=5040$, und dieses Rechenrezept k\u00f6nnen wir bis zu 10-stelligen Zahlen verwenden. 11-stellige Zahlen mit lauter verschiedenen Ziffern kann es ja nicht geben, wenn nur 10 Ziffern zur Verf\u00fcgung stehen. Das gilt auch f\u00fcr viele anderer F\u00e4lle: Es gibt keine Zahlen, die mehr verschiedene Ziffern verwenden als sie Stellen haben.\n\n\n\nWir wissen jetzt, dass 10 3-stellig 1-ziffrige und 720 3-stellig 3-ziffrige Zahlen gibt. Daher gibt es $1000-10-720=270$ 3-stellig 2-ziffrige Zahlen.<br>\n\n\n\nWir k\u00f6nnen das, was wir uns bisher \u00fcberlegt haben, in einer Tabelle zusammenfassen:\n\n\n\n<figure>\n\n<iframe width=\"539\" height=\"233\" src=\"https:\/\/onedrive.live.com\/embed?resid=495062CF0D0DB8FB%211996&amp;authkey=%21AGrnhHg_FFp7GZU&amp;em=2&amp;wdAllowInteractivity=False&amp;ActiveCell='Init'!A1&amp;Item='Init'!A1%3AG8&amp;wdDownloadButton=True&amp;wdInConfigurator=True\"><\/iframe>\n\n<\/figure>\n\n\n\n<em>Wenn sie einmal in die Tabelle (nicht in den erl\u00e4uternden Text dar\u00fcber) klicken, dann verschwindet der Text dar\u00fcber uns sie sehen die ganze Tabelle auf einmal.<\/em>\n\n\n\nDie erste Anzahl, die wir noch nicht kennen, ist die Anzahl der 4-stellig 2-ziffrigen Zahlen. Jede dieser Zahlen ist eine \u201everl\u00e4ngerte\u201c 3-stellige Zahl. Sie ist entstanden, indem an eine 3-stellige Zahl noch eine vierte Ziffer angeh\u00e4ngt wurde.\n\n\n\nStellen wir uns das jetzt so vor: Wir haben 6 Schachteln, in denen liegen alle 3-stelligen Zahlen, und zwar in Schachtel 1 die 1-ziffrigen, in Schachtel 2 die 2-ziffrigen und in Schachtel 3 die 3-ziffrigen. Schachtel 4 bis 6 sind leer, weil es ja keine 3-stelligen Zahlen mit 4 oder mehr verschiedenen Ziffern gibt.<br>Jetzt stellen wir eine neue Reihe mit 6 Schachteln (wieder nummeriert von 1 bis 6) auf. Dann erzeugen wir von jedem Zettel in Schachtel 1 (aus der Reihe f\u00fcr die 3-stelligen Zahlen) 10 Kopien und h\u00e4ngen an die 3-stellige Zahl jeweils eine der 10 Ziffern an. So entstehen 4-stellige Zahlen. Diese Zahlen legen wir in die \u201erichtigen\u201c Schachteln f\u00fcr die 4-stelligen Zahlen. Wenn wir die 2-stellig 1-ziffrigen Zahlen mit jeweils einer Ziffer verl\u00e4ngern (z.B. 111), dann bekommen wir 1 4-stellig 1-ziffrige Zahl (n\u00e4mlich 1111) und 9 4-stellig 2-ziffrige Zahlen (1111, 1112, 1113, &#8230;, 1119, 1110). Eine unserer verl\u00e4ngerten Zahlen hat also die gleich \u201eZiffrigkeit&#8220; und bei 9 verl\u00e4ngerten Zahlen wird die Ziffrigkeit um 1 h\u00f6her.<br>Wenn wir 3-stellig 2-ziffrige Zahlen (z.B. 121) mit allen 10 m\u00f6glichen Ziffern verl\u00e4ngern, dann sind 2 der Verl\u00e4ngerungen wieder 2-ziffrig (1211 und 1212) und die \u00fcbrigen 8 Verl\u00e4ngerungen sind 3-ziffrig.\n\n\n\nWir haben also aus den 10 3-stellig 1-ziffrigen Zahlen 90 4-stellig 2-ziffrige Zahlen erzeugt, und aus den 270 3-stellig 2-ziffrigen ebenfalls $2\\cdot 270=540$ 4-stellig 2-ziffrige Zahlen, insgesamt also $9\\cdot 10+2\\cdot 270=630$ 4-stellig 2-ziffrige Zahlen. Es gibt ja keine andere Art, solche Zahlen durch Verl\u00e4ngerung 3-stelliger Zahlen zu erzeugen, daher sind das alle derartigen Zahlen.\n\n\n\nMit den gleichen \u00dcberlegungen k\u00f6nnen wir sehen, dass wir alle 4-stellig 3-ziffrigen Zahlen aus den 3-stellig 2-ziffrigen und den 3-stellig 3-ziffrigen erzeugen k\u00f6nnen. Jede 3-stellig 2-ziffrige Zahl kann auf 8 Arten zu einer 4-stellig 3-ziffrigen verl\u00e4ngert werden (wir h\u00e4ngen einfach hinten eine der 8 noch nicht verwendeten Ziffern an), und jede 3-stellig 3-ziffrige Zahl kann auf 3 Arten zu einer 4-stellig 3-ziffrigen Zahl verl\u00e4ngert werden, indem wir jeweils eine der 3 schon verwendeten Ziffern hinten anh\u00e4ngen.<br>Es gibt daher $8\\cdot 270+3\\cdot 720=3600$ 4-stellig 3-ziffrige Zahlen. <br>Das Rezept funktioniert auch f\u00fcr die 4-stellig 4-ziffrigen Zahlen: Jede 3-stellig 3-ziffrige Zahl kann auf 7 Arten (mit einer der $10-3$ noch nicht verwendeten Ziffern) zu einer 4-stellig 4-ziffrigen Zahl erweitert werden. 3-stellig 4-ziffrige Zahlen gibt es nicht, daher ist der zweite Ausdruck in der Summe, die wir typischerweise berechnen, einfach 0.\n\n\n\nIn unserer Tabelle k\u00f6nnen wir das Muster unserer Rechnung so beschreiben: in jeder Zelle steht eine Summe aus 2 Produkten. Das erste Produkt ist die Zahl links dar\u00fcber multipliziert mit (10-Spaltennummer) der Spalte, aus der diese Zahl kommt, das zweite Produkt ist die Zahl unmittelbar dar\u00fcber multipliziert mit der Spaltennummer dieser Spalte.<br>Diese Rechnung gilt f\u00fcr alle 2- oder mehrstelligen und 2- oder mehrziffrigen Zahlen.\n\n\n\nDie so vervollst\u00e4ndigte Tabelle sieht so aus:\n\n\n\n<figure>\n\n<iframe width=\"539\" height=\"233\" src=\"https:\/\/onedrive.live.com\/embed?resid=495062CF0D0DB8FB%211996&amp;authkey=%21AGrnhHg_FFp7GZU&amp;em=2&amp;wdAllowInteractivity=False&amp;ActiveCell='Formel'!A1&amp;Item='Formel'!A1%3AG8&amp;wdDownloadButton=True&amp;wdInConfigurator=True\"><\/iframe>\n\n<\/figure>\n\n\n\nSie k\u00f6nnen diese Excel-Mappe herunterladen und die Formel n\u00e4her untersuchen. Wenn sie in der heruntergeladenen Tabelle auf eine Zelle doppelklicken, dann erhalten sie folgendes:\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img loading=\"lazy\" width=\"373\" height=\"169\" src=\"http:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/files\/2018\/12\/2018-12-30_16-21-53.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2879\" srcset=\"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/files\/2018\/12\/2018-12-30_16-21-53.png 373w, https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/files\/2018\/12\/2018-12-30_16-21-53-300x136.png 300w\" sizes=\"(max-width: 373px) 100vw, 373px\" \/><\/figure>\n\n\n\nDie weiter oben in Worten beschriebene Formel ist hier farbcodiert: <br>rosa . gr\u00fcn + orange . blau.\n\n\n\n<em>Die Formelschreibweise ist vielleicht nicht die, die sie normalerweise in Excel sehen. Man kann sie aber in den Excel-Optionen einschalten. R[-1]C bedeutet beispielsweise Zeile (englisch row) dar\u00fcber, selbe Spalte (englisch column). Wenn ihr Excel auf deutsch eingestellt ist, dann steht dort Z[-1]S<em><em>Z3S+Z[-1]S[-1]<\/em><\/em>Z3S[-1] <\/em>\n\n\n\nWir sehen in dieser Tabelle, dass es 327600 6-stellige 4-ziffrige Zahlen gibt.\n\n\n\n\u00dcbersetzt in die \u201e\u00fcbliche\u201c mathematische Schreibweise lautet die L\u00f6sung unseres Problem so:\n\n\n\n$$F(1,1)=10&#92;\\<br>F(n,1)=10 \\text{ f\u00fcr } n>1 &#92;\\<br>F(1,k) = 0 \\text{ f\u00fcr } k>1 &#92;\\<br>F(n,k) = (10-(k-1))F(n-1,k-1)+k F(n-1,k)\\text{ sonst}<br>$$\n\n\n\n$F(n,k)$ ist dabei die Zahl in der Zelle mit Zeilennummer $n$ und Spaltennummer $k$. Die Formel ist also inhaltlich vollkommen gleich mit der  verbalen Beschreibung der Tabelle; sie dr\u00fcckt das Rechenrezept nur in der in der Mathematik \u00fcblichen sehr kompakten Schreibweise aus.\n\n\n\nZusatzanmerkung:<br>Wir haben die Anzahl der Zahlen mit lauter verschiedenen Ziffern als $10$, $10 \\cdot  9$, $10 \\cdot  9 \\cdot  8$ usw. berechnet. Diese Zahlen sind strukturell Potenzen \u00e4hnlich. $n^k$ bedeutet, dass man die Zahl $n$ $k$-mal mit sich selbst multipliziert, wir berechnen also<br>\n\n\n\n$$<br>\n\\underbrace{n . n \\ldots n }_\\text{k Faktoren}<br>\n$$\n\n\n\nDie Produkte, die wir berechnen, haben auch k Faktoren, allerdings ist jeder davon um 1 weniger als der vorhergehende:\n\n\n\n$$<br>\n\\underbrace{n . (n-1).(n-2) \\ldots (n-k+1) }_\\text{k Faktoren}<br>\n$$\n\n\n\nDiese Produkte haben einen eigenen Namen, sie hei\u00dfen fallende Faktorielle, oder fallende faktorielle Potenzen. Sie kommen in der Kombinatorik so oft vor, dass es eigene Schreibweisen daf\u00fcr gibt, n\u00e4mlich\n\n\n\n$$ n^\\underline{k} \\text{ oder } n_{(k)}$$\n\n\n\nDie mathematische Definition lautet\n\n\n\n$$ n^\\underline{k} = \\prod_{i=0}^{k-1}(n-i)$$\n\n\n\nFalls sie diese mathematische Schreibweise nicht gewohnt sind, sollten sie sich davon nicht schrecken lassen. Sie bedeutet nichts anderes als das, was wir schon in Worten ausgedr\u00fcckt haben. Die oben stehende unterstrichene Zahl (der Exponent) gibt an, wieviele Faktoren das Produkt hat und die unten stehende Zahl ist der erste Faktor; alle weiteren Faktoren werden pro Faktor um 1 verringert.\n<div class=\"tweet_button120\" style=\"float: right; margin-left: 10px;\"><a href=\"http:\/\/twitter.com\/share\" rel=\"nofollow\" class=\"twitter-share-button\" data-url=\"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/2018\/12\/30\/wieviele-6-stellige-zahlen-kann-man-mit-4-ziffern-schreiben\/\" data-text=\"Wieviele 6-stellige Zahlen kann man mit 4 Ziffern schreiben? - Bildung und Statistik\" data-count=\"vertical\" data-lang=\"de\" data-via=\"neuwirthe\"  data-related=\"\"><\/a><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Ein bisschen kombinatorisches Denken Ich habe unl\u00e4ngst in meiner Twitterserie #mathepuzzle folgende Aufgabe gestellt: 132324 ist eine 6-stellige Zahl, in der nur 4 verschiedene Ziffern vorkommen. 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