{"id":2754,"date":"2018-12-11T00:53:45","date_gmt":"2018-12-10T23:53:45","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/?p=2754"},"modified":"2018-12-11T01:02:44","modified_gmt":"2018-12-11T00:02:44","slug":"ein-mathepuzzle","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/2018\/12\/11\/ein-mathepuzzle\/","title":{"rendered":"Ein #mathepuzzle"},"content":{"rendered":"

und was man daraus alles lernen kann<\/h3>\n\n\n\n\nIch poste (als @neuwirthe) auf Twitter regelm\u00e4\u00dfig mathematische Puzzles unter den hashtag #mathepuzzle. Unl\u00e4ngst hab ich folgendes gepostet:\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\nF\u00fclle die 4 Felder so aus, dass alle markierten Rechnungen stimmen.
Viele Leser haben die richtige L\u00f6sung gefunden.\n\n\n\nWie kann man die L\u00f6sung intelligent suchen?\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\nProbieren wir es mit Excel (oder LibreOffice oder einem anderen tabellenkalkulationsprogramm)\n\n\n\nDie Felder sind farbig markiert, damit wir leichter dar\u00fcber reden k\u00f6nnen. Die 4 Randsummen sind die Vorgaben, wir wollen, dass Zeilen- und Spaltensummen diese Werte ergeben.\n\n\n\nHinter den 0en stecken Formeln, die die jeweils beiden Zellen (entweder dar\u00fcber oder links daneben) addieren.\n\n\n\nMan sieht sofort, dass in den beiden blauen Feldern dasselbe stehen muss, da ja beide Zahlen jeweils zur orangen Zahl addiert 8 ergeben m\u00fcssen.
In beiden Zellen k\u00f6nnen wir daher die Formel \u201e8 – orange Zelle\u201d eingeben.
In der lila Zelle kommt die Formel \u201e13 – blaue Zelle dar\u00fcber“.
Wenn wir das machen, dann erhalten wir Folgendes:\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n3 unserer 4 Summen sind also schon richtig. Wir k\u00f6nnen jetzt im orangen Feld verschiedene Zahlen ausprobieren und so eine L\u00f6sung suchen.\n\n\n\nWenn wir ins orange Feld 2 eingeben erhalten wir im gr\u00fcnen Feld 1, orange 3 ergibt gr\u00fcn 3, orange 4 ergibt gr\u00fcn 5, orange 5 ergibt gr\u00fcn 7 usw. Jeweils 1 mehr im orangen Feld ergibt also 2 mehr im gr\u00fcnen Feld. Wir h\u00e4tten gerne 6 im gr\u00fcnen Feld. 4 orange ergibt zu wenig, 5 orange ergibt zu viel, daher versuchen wir es mit 4.5\n\n\n\n\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n4.5 ist also die L\u00f6sung.\n\n\n\nWir h\u00e4tten auch die Zielwertsuche von Excel verwenden und Excel die Aufgabe\n\n\n\n\u00c4ndere den Inhalt des orangen Feldes so, dass im gr\u00fcnen Feld 6 steht.<\/em>\n\n\n\nstellen k\u00f6nnen.\n\n\n\nEs geht auch \u201eklassischer“.\n\n\n\nNennen wir den Wert im orangen Feld $x$.
Dann muss in den beiden blauen Feldern $8-x$ stehen.
Im lila Feld steht dann $13-(8-x)=5+x$. Der Wert im gr\u00fcnen Summenfeld ist daher $(5+x)-(8-x)=2x-3$. Dieser Wert soll 6 sein, also lautet die Gleichung, die wir l\u00f6sen m\u00fcssen, $2x-3=6$ und die L\u00f6sung ist $x=\\frac{9}{2}=4.5$.\n\n\n\nWir k\u00f6nnen dieses Beispiel auch mit Mitteln der (etwas) h\u00f6heren Mathematik angehen \ud83d\ude09\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\nWir benennen die Feldinhalte als Variable und stellen ein Gleichungssystem mit 4 Unbekannten auf:\n\n\n\n$$
\\begin{split}
&1 x_1 + 1 x_2 + 0 x_3 &+ &0 x_4 &= 8 \\\ \u00a0
&0 x_1 + 0 x_2 + 1 x_3 &- &1 x_4 &= 6 \\\
&1 x_1 + 0 x_2 + 1 x_3 & + &0 x_4 &= 13 \\\
&0 x_1 + 1 x_2 + 0 x_3 & + &1 x_4 &= 8\u00a0
\\end{split}
$$
\n\n\n\nDiese Schreibweise alleine hilft noch nicht, mehr herauszufinden. In der Mathematik gibts noch eine Kurzschreibweise, die es uns erspart, die Variablen so oft anzuschreiben:\n\n\n\n$$
\\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\\
0 & 0 & 1 & -1 \\\
1 & 0 & 1 & 0 \\\
0 & 1 & 0 & 1\u00a0
\\end{pmatrix}
\\begin{pmatrix}x_1 \\\ x_2 \\\ x_3 \\\ x_4 \\end{pmatrix}
=
\\begin{pmatrix} 8 \\\ 6 \\\ 13 \\\ 8 \\end{pmatrix}
$$\n\n\n\nIn der Mathematik gibt es Hilfsmittel, zu entscheiden, ob ein derartiges Gleichungssystem immer l\u00f6sbar ist, auch dann, wenn man die Zahlen auf den rechten Seite der Gleichungszeichen beliebig \u00e4ndert.
Wenn wir das entsprechend aufschreiben sieht es so aus:

\n\n\n\n
$$
\\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\\
0 & 0 & 1 & -1 \\\
1 & 0 & 1 & 0 \\\
0 & 1 & 0 & 1\u00a0
\\end{pmatrix}
\\begin{pmatrix}x_1 \\\ x_2 \\\ x_3 \\\ x_4 \\end{pmatrix}
=
\\begin{pmatrix} r_1 \\\ r_2 \\\ r_3 \\\ r_4 \\end{pmatrix}
$$\n\n\n\nMit mathematischen Hilfsmitteln erhalten wir dann f\u00fcr beliebige rechte Seiten die L\u00f6sung\n\n\n\n$$
\\frac{1}{2}\\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & -1 \\\
0 & -1 & 1 & 1 \\\
-1 & 1 & 1 & 1 \\\
-1 & 1 & 1 & -1\u00a0
\\end{pmatrix}
\\begin{pmatrix}r_1 \\\ r_2 \\\ r_3 \\\ r_4 \\end{pmatrix}
=
\\begin{pmatrix} x_1 \\\ x_2 \\\ x_3 \\\ x_4 \\end{pmatrix}
$$\n\n\n\nWenn wir unsere Zeilen- und Spaltensumme $r_1=8$, $r_2=6$, $r_3=13$ und $r_4=6$ einsetzten dann erhalten wir die L\u00f6sung $x_1=\\frac{7}{2}$, $x_2=\\frac{9}{2}$, $x_3=\\frac{19}{2}$ und $x_4=\\frac{7}{2}$.\n\n\n\nDer Zweig der Mathematik, der L\u00f6sbarkeit und L\u00f6sungsmethoden  solcher Gleichungssysteme untersucht, hei\u00dft Lineare Algebra.\n\n\n\n\n
Wir k\u00f6nnen solche Gleichungssystem in vielen speziellen F\u00e4llen l\u00f6sen. Das Wissen, dass unser Puzzle bei beliebigen Zeilen- und Spaltensummen immer eindeutig l\u00f6sbar ist, liefern aber erst die Methoden der Linearen Algebra.<\/div>\n\n
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