{"id":2712,"date":"2018-11-19T00:09:25","date_gmt":"2018-11-18T23:09:25","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/?p=2712"},"modified":"2018-11-21T11:26:13","modified_gmt":"2018-11-21T10:26:13","slug":"7-fach-jackpot-im-lotto-wie-wahrscheinlich-ist-so-etwas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/2018\/11\/19\/7-fach-jackpot-im-lotto-wie-wahrscheinlich-ist-so-etwas\/","title":{"rendered":"7-fach-Jackpot im Lotto: Wie wahrscheinlich ist so etwas?"},"content":{"rendered":"

Wir haben das erste Mal seit es das Lotto 6 aus 45 gibt, also seit September 1986, einen 7-fachen Jackpot.<\/p>\n

Es gab bisher 2784 Spielrunden.<\/p>\n

Man kann fragen, wie gro\u00df die Wahrscheinlichkeit ist, dass bei so vielen Lottorunden 7x hintereinander keine Spieler die 6 Richtigen tippt.<\/p>\n

Es gibt allerdings keine einfache Antwort auf diese Frage.<\/p>\n

Um die Wahrscheinlichkeit eines Jackpots auszurechnen braucht eine Annahme und eine Zahl.<\/p>\n

Die Annahme lautet, dass die Spieler alle m\u00f6glichen Tipps mit gleicher Wahrscheinlichkeit setzen. Das ist aber nicht der Fall, weil Zahlen \u00fcber 31 seltener gesetzt werden, weil diese Zahlen keinem Datum (z.B. einem Geburtstag) entsprechen.<\/p>\n

Die Zahl, die wir brauchen, ist die Zahl der in eine Runde abgegebenen Tipps. Diese Zahl schwankt bei 6 aus 45.<\/p>\n

W\u00e4re die Zahl der abgegebenen Tipps pro Runde f\u00fcr alle Runden gleich, dann k\u00f6nnte man die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr einzelne Jackpotrunde einfach ausrechnen.<\/p>\n

Die Zahl der Tipps pro Runde schwankt aber seit Bestehen des Lottos, und zwar zwischen 2.6 Millionen und 52 Millionen, also ganz betr\u00e4chtlich.<\/p>\n

Bei Einf\u00fchrung von 6 aus 45 gab es nur eine Ziehung pro Woche, und zwar am Sonntag. Seit September 1997 gibt es jede Woche 2 Ziehungen pro Woche, am Sonntag und am Mittwoch. Im Schnitt wurden in den Sonntagsziehungen bis September 1997 jeweils 16 Millionen Tipps abgegeben, danach in Mittwochrunden 6 und in Sonntagsrunden 7 Millionen Tipps.<\/p>\n

Typischerweise werden in Jackpotrunden mehr Tipps als in \u201enormalen“ Runden abgegeben. Allerdings sind die entsprechenden Zahlen f\u00fcr die alten und die neuen Sonntagsziehungen und die Mittwochsziehungen merkbar verschieden. Bis September 1997 wurden in Normalrunden im Schnitt 14.3 und in Jackpotrunden 21.8 Tipps abgegeben. Bei den Sonntagsrunden nach September 1997 wurden in Normalrunden 5.9 und in Jackpotrunden 8.4 Millionen Tipps angegeben, in Mittwochrunden 4.5 bzw. 7.7 Millionen Tipps.<\/p>\n

Wir k\u00f6nnen die Wahrscheinlichekt f\u00fcr 7 oder mehr Jackpots hintereinander genaugenommen nur berechnen, wenn die Zahl der Tipps pro Runde gleich ist. Das ist bei uns nicht der Fall. Seit September 1997 wurden durchschnittlich 6.6 Millionen Tipps pro Runde abgegeben.
\n Wenn wir mit dieser Zahl von Tipps die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr einen Jackpot errechnen, dann bekommen wir<\/p>\n

$$
\n\\left(1-\\frac{1}{\\binom{45}{6}}\\right)^{6600000}=\\left(1-\\frac{1}{8145060}\\right)^{6600000}=0.450
\n$$<\/p>\n

Rechnen wir mit dieser Jackpotwahrscheinlichkeit pro Runde die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr mindestens 7 Jackpots in Folge in 2211 Runden aus, dann erhalten wir daf\u00fcr eine Wahrscheinlichkeit von 0.99994<\/p>\n

Wenn 7 Jackpots in Folge so wahrscheinlich sind, warum ist das dann bisher noch nicht vorgekommen?<\/p>\n

Der Hauptgrund ist wohl, dass die Tippzahl pro Runden nicht gleich ist sondern bei Mehrfachjackpots steigt.<\/p>\n

In den letzten 7 (6erfreien) Runden wurden 3.0, 3.8, 4.4, 5.1, 6.8, 8.3 und 12.3 Millionen Tipps abgegeben.<\/p>\n

Die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr einen Jackpot h\u00e4ngt von der Tippzahl ab und nimmt mit h\u00f6herer Tippzahl ab. Je mehr Jackpots es also direkt vor eine Runde gab, desto geringer ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in der neuen Runde zu einem Jackpot kommt.<\/p>\n

Es gibt in der Wahrscheinlichkeitsrechnung einfach formulierbare Aufgaben, die man nicht so einfach ausrechnen kann. Die Frage nach der Wahrscheinlichkeit f\u00fcr einen 7fach-Jackpot ist so eine Frage.<\/p>\n

P.S.: Die Formel f\u00fcr die Berechnung der Wahrscheinlichkeit f\u00fcr mindestes 7 Jackpots hintereinander finden sie hier nicht, weil sie relativ kompliziert ist und tiefergehendes Verst\u00e4ndnis f\u00fcr Berechnung mit rekursiv definierten Funktionen erfordert.<\/em><\/p>\n

F\u00fcr absolute Mathenerds:<\/p>\n

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit $P(n,k,p)$, dass in einer Folge von $n$ Versuchen h\u00f6chstens $k$ Ereignisse mit einer Einzelwahrscheinlichkeit $p$ unmittelbar aufeinander folgen, geht mit folgender Formel:<\/p>\n

$$
\nP(n,k,p)=\\begin{cases}1 & \\text{f\u00fcr }n \\leq k \\\
\n1-p^{k+1} & \\text{f\u00fcr }n = k+1 \\\
\n\sum_{i=1}^{k+1}P(n-i,k,p)p^{i-1}(1-p)& \\text{f\u00fcr }n>k+1
\n\\end{cases}
\n$$<\/p>\n

Die Wahrscheinlichkeit, bei 2211 Lottorunden mit je 6.6 Millionen Tipps pro Runde mindestens einmal 7 Jackpots hintereinander zu bekommen erhalten wir, indem wir<\/p>\n

$$1-P(2211,6,\\left(1-\\frac{1}{8145060}\\right)^{6600000})$$<\/p>\n

berechnen.<\/p>\n

Tipps pro Runde<\/h2>\n

Die folgende Grafik zeigt die Entwicklung der Zahl der pro Runde abgegebenen Tipps:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Diese Zahlen sind nicht direkt publiziert. Publiziert sind aber die Gewinnh\u00f6hen und Gewinnerzahlen in den einzelnen R\u00e4ngen. Au\u00dferdem findet man in den Spielbedingungen die Quoten, welcher Anteil der gesamten Lottoeins\u00e4tze in welchen Gewinntopf geht. Damit kann man die Tippzahlen ausrechnen.<\/p>\n

Eine Simulation mit Jackpotwahrscheinlichkeiten<\/h2>\n

Man kann die Frage nach der Wahrscheinlichkeit des 7fach-Jackpots mit den sich nach der Jackpotanzahl \u00e4ndernden Wahrscheinlichkeiten mit einer Simulation untersuchen. Macht man das mit den angegebenen Tippzahlen, dann erh\u00e4lt man f\u00fcr die Wahrscheinlichkeit bei 100.000 Serien der L\u00e4nge 2211 einen Wert von 0,98.<\/p>\n

Hier ist Code in der Programmiersprache R f\u00fcr diese Simulation<\/p>\n

library(tidyverse)\nlibrary(magrittr)\n\ntipps = c(3.0, 3.8, 4.4, 5.1, 6.8, 8.3, 12.3)*10^6\nprobs_no_6 <- (1-1\/choose(45,6))^tipps\n\nsimul_eine_serie <- function(n,k){\n  jackpots <- numeric(n)\n  jackpots[1] <- 0\n  for (i in 2:n){\n    jackpots[i] <- ifelse(runif(1) <= (probs_no_6[jackpots[i-1]+1]),1+jackpots[i-1],0)\n    if(jackpots[i] >= k) {break}\n    }\n  max(jackpots[1:i])\n}\n\nsimulation <- function(repetitions,series_length,runlength){\n  replicate(repetitions,simul_eine_serie(series_length,runlength)) %>%\n    {table(.)[as.character(runlength)]\/repetitions}\n}\n\nsimulation(100000,2211,7)\n<\/code><\/pre>\n
Tipps bei Mehrfachjackpots<\/h2>\n
Die Zahl der abgegebenen Tipps steigt bei Mehrfachjackpots. Die Zahl der Tipps pro Runde hat aber auch mit Einf\u00fchrung der Mittwochziehungen (ab September 1997) abgenommen. Die folgende Tabelle zeigt die Anzahl der Tipps f\u00fcr diese verschiedenen Rahmenbedingungen.<\/p>\n