Seit 1. August gibt es auf der Autobahn Teststrecken, auf denen die erlaubte H\u00f6chstgeschwindigkeit 140 km\/h statt der bisher erlaubten 130 km\/h betr\u00e4gt.<\/p>\n
Nehmen wir folgendes an: ein Autofahrer, der 130 km\/h f\u00e4hrt, sieht ein Hindernis, bremst sofort, und sein Auto bleibt genau vor dem Hindernis stehen.<\/p>\n
Mit welcher Geschwindigkeit w\u00fcrde dieser Autofahrer auf das Hindernis auffahren, wenn er statt mit 130 km\/h mit 140 km\/h f\u00e4hrt.<\/p>\n
Die Antwort: Die Aufprallgeschwindigkeit des schnelleren Autos ist 58.5 km\/h. (oder 16.2 m\/s)<\/p>\n
Wenn man das mit einem fallenden Gegenstand vergleicht, dann kann man fragen, bei welcher Fallh\u00f6he diese Geschwindigkeit erreicht wird.
\nIn unserem Beispiel ergibt das eine Fallh\u00f6he von 13.4 m, das entspricht einem Fall vom Fensterbrett im 4. Stock eines Wohnhauses.<\/p>\n
In Ober\u00f6sterreich wird auf der Teststrecke aufgrund von Messtoleranzen \u00fcberhaupt erst ab 159 km\/h gestraft. Da betr\u00e4gt die Aufprallgeschwindigkeit dann 102.3 km\/h und die \u00e4quivalente Fallh\u00f6he ist 41.2 m, also ungef\u00e4hr aus dem 13. Stock.<\/p>\n
Wie k\u00f6nnen wir das ausrechnen?<\/p>\n
Um das mathematisch behandeln zu k\u00f6nnen brauchen wir 2 Tatsachen zu wissen:<\/p>\n
Um die Aufgabe konkret rechnen zu k\u00f6nnen brauchen wir noch ein bisschen Zusatzwissen.<\/p>\n
Wenn ein Fahrer ein Hindernis wahrnimmt, dann vergeht noch etwas Zeit, bis er die Bremse bet\u00e4tigt und die Geschwindigkeit tats\u00e4chlich verringert wird. Diese Zeit nennt man Reaktionszeit. Sie betr\u00e4gt typischerweise zwischen 0.5 und 2 Sekunden. Wir werden unsere Berechnungen zun\u00e4chst mit 1 Sekunde Reaktionszeit durchf\u00fchren.<\/p>\n
Au\u00dferdem m\u00fcssen wir wissen, wie stark der Bremsvorgang (sobald die Bremsen wirken, also nach der Reaktionszeit) die Geschwindigkeit verringert.
\nBei einer Vollbremsung betr\u00e4gt die Verz\u00f6gerung bis zu 10 m\/s\u00b2. Was hei\u00dft das? Es hei\u00dft, dass die Geschwindigkeit in m\/s pro Sekunde um 10 m\/s geringer wird. F\u00e4hrt das Auto mit 30 m\/s, dann dauert es also 3 Sekunden, bis das Auto die Geschwindigkeit 0 hat und daher stehen bleibt.<\/p>\n
Beim Autofahren werden Geschwindigkeiten allerdings meist nicht in m\/s sondern in km\/h angegeben. Wie wird da umgerechnet?
\n1 km entspricht 1000 m und 1 Stunde hat 3600 Sekunden. 1 m\/s ist daher 3600 m\/h oder 3.6 km\/h.<\/p>\n
Diese Umrechnung werden wir im Folgenden mehrfach brauchen.<\/p>\n
Wir wissen jetzt schon genug, um unsere Berechnungen in einer Excel-Arbeitsmappe durchf\u00fchren zu k\u00f6nnen.<\/p>\n
Die Arbeitsmappe gibts hier zum Herunterladen oder Online-Bearbeiten<\/a>.<\/p>\n Unsere ersten Berechnungen machen wir im Arbeitsblatt Im Kopfteil der Tabelle stehen die Ausgangswerte: Reaktionszeit, Fahrgeschwindigkeit und Bremsverz\u00f6gerung (die letzten beiden mit Umrechnung sowohl in m\/s als in km\/h).<\/p>\n In Spalte Zeit steht einfach die verstrichene Zeit in Zehntelsekundenintervallen.<\/p>\n In Spalte Geschwindigkeit In der Spalte Weg Damit haben wir eine Tabelle, die f\u00fcr jeden Zeitpunkt angibt, welche Strecke das Auto bis dahin zur\u00fcckgelegt hat und wie schnell es gerade ist.<\/p>\n Und jetzt kommt eines der viel zu wenig bekannten und genutzten Excel-Werkzeuge zum Zug: die Was tut diese Funktion? Sie funktioniert wie das Nachschlagen der \u00dcbersetzung eines Wortes in einem Fremdsprachenw\u00f6rterbuch.<\/p>\n Man hat ein Wort in Sprache A, dessen \u00dcbersetzung man sucht, eine alfabetisch geordnete Spalte mit lauter W\u00f6rtern in Sprache A, und eine zweite Spalte mit W\u00f6rtern der Sprache B und zwar so, dass neben jedem Wort in Sprache A in der ersten Spalte die \u00dcbersetzung des Wortes in Sprache B steht. Wie verwendet man ein Fremdsprachenw\u00f6rterbuch? Man geht die Suchspalte entlang bis man das gesuchte Wort findet und findet rechts daneben die \u00dcbersetzung.<\/p>\n Genau das tut auch die Funktion Wir haben eine Tabelle mit den 5 Spalten Zeit, Geschwindigkeit in m\/s, Strecke in m und Geschwindigkeit in km\/h.<\/p>\n Mit der Wenn der Wert f\u00fcr die Strecke, nach dem wir suchen, nicht genau in der Spalte vorkommt, dann verwendet die Im Arbeitsblatt Das Ergebnis steht in unserem Arbeitsblatt in der orange markierten Zelle.<\/p>\n Da wir im Hundersteltakt rechnen und sich die Geschwindigkeit pro Hunderstelsekunde maximal um 0.36 km\/h \u00e4ndert ist unser Ergebnis Sie k\u00f6nnen (und sollen) die Werte in den gelb markierten Zellen \u00e4ndern und so die Aufprallgeschwindigkeit des schnelleren Autos Dieses Arbeitsblatt l\u00f6st unser Problem vollst\u00e4ndig.<\/p>\n In diesem Arbeitsblatt haben wir keine Formeln verwendet, die Geschwindigkeit und Strecke unmittelbar aus der Zeit berechnen. Die Tabelle ist relativ gro\u00df, ohne Computer ist diese Art der Berechnung kaum praktikabel. Es gibt noch einen anderen Weg, der auf anderen Formeln beruht, und der in der Zeit vor Computern mehr oder weniger Ein Auto f\u00e4hrt mit gleichm\u00e4\u00dfiger Geschwindigkeit $v_0$. Zum Zeitpunkt $t=0$ nimmt es ein Hindernis auf der Fahrbahn wahr. Die folgende Formel dr\u00fcckt genau diesen Sachverhalt aus, sie gibt die Geschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt $t$ an.<\/p>\n $$v(t)= Die zur\u00fcckgelegte Wegstrecke zum Zeitpunkt $t$ ist w\u00e4hrend der Reaktionsphase $t v_0$. Danach, also im Zeitintervall von $r$ bis $t$ Daher lautet die Formel f\u00fcr die Strecke zum Zeitpunkt $t$<\/p>\n $$s(t)= Mit diesen Formeln k\u00f6nnen wir die Bremszeit und die Anhaltezeit (= Reaktionszeit + Bremszeit) berechnen. Reaktionszeit: $r$ Die Summe von Reaktionsweg und Bremsweg hei\u00dft Anhalteweg und ist Reaktionsweg: $v_0 r$<\/p>\n Den Bremsweg k\u00f6nnen wir berechnen, indem wir zun\u00e4chst berechnen, wie lange das Auto braucht, um von Geschwindigkeit $v_0$ auf Geschwindikeit $0$ hinunterzubremsen. Diese Zeit ist $\\frac{v_0}{b}$. Die Anfangsgeschwindigkeit in diesem Zeitintervall ist $v_0$ und die Endgeschwindigkeit ist $0$, daher ist die Durchschnittsgeschwindigkeit $\\frac{v_0}{2}$ und die Strecke (Zeit $\\cdot$ Durchschnittsgeschwindigkeit) Bremsweg: $\\frac{{v_0}^2}{2b}$ Unser Problem l\u00e4sst sich jetzt so formulieren:<\/p>\n Wenn das Auto Strecke $d$ zur\u00fcckgelegt hat, also $s(t)=d$ gilt, wie gro\u00df ist die Geschwindigkeit $v(t)$ an dieser Stelle und zu diesem Zeitpunkt.<\/p>\n Der klassische Weg, solche Aufgaben zu l\u00f6sen, ist folgender: Wir m\u00fcssen jetzt 2 F\u00e4lle unterscheiden: $$v_0 r + (v_0-\\frac{b}{2}(t-r))(t-r) = d$$<\/p>\n f\u00fcr $t$ l\u00f6sen.<\/p>\n Das ist eine quadratische Gleichung in $t$, und zur L\u00f6sung der quadratischen Gleichung gibts eine Formel.<\/p>\n Wenn wir die Gleichung umformen, dann k\u00f6nnen wir sie so anschreiben:<\/p>\n $$-\\frac{b}{2}t^2+(v_0+b r)t-(\\frac{br^2}{2}-d)=0 $$<\/p>\n Die beiden L\u00f6sungen dieser Gleichung lauten<\/p>\n $$\\frac{v_0+b r}{b}\\pm\\sqrt{\\Big(\\frac{v_0+br}{b}\\Big)^2-\\Big(r^2+\\frac{2 d}{b}\\Big)}$$<\/p>\n Wir sehen, dass der Ausdruck vor dem $\\pm$-Zeichen die Anhaltezeit ist. Daher kommt die L\u00f6sung mit dem $+$-Zeichen sachlich nicht in Frage, weil der Zeitpunkt nach dem Anhalten des Autos liegt.<\/p>\n Die andere L\u00f6sung formen wir noch einmal um:<\/p>\n $$t_d=\\frac{v_0}{b}+r-\\frac{\\sqrt{{v_0}^2 + 2 b r v_0 -2 b d}}{b}$$<\/p>\n und dann berechnen wir $v(t_d)$.<\/p>\n Das ergibt $v(t_d)=v_0-(t_d-r)b = v_0-(\\frac{v_0}{b}+r-\\frac{\\sqrt{{v_0}^2 + 2 b r v_0 -2 b d}}{b}-r)b$ Die Geschwindigkeit $v_d$, die das Auto hat, wenn es die Strecke $d$ zur\u00fcckgelegt hat, ist also<\/p>\n $$ v_d =\\sqrt{{v_0}^2 + 2 b r v_0 -2 b d} $$<\/p>\n Mit dieser Formel k\u00f6nnen wir das urspr\u00fcngliche Problem l\u00f6sen:<\/p>\n Wenn ein langsameres Auto A und ein schnelleres Auto B an derselben Stelle zu bremsen beginnen, welche Geschwindigkeit hat dann das Die Anhaltestrecke f\u00fcr Auto A ist $d_A=v_A r + \\frac{{v_A}^2}{2b}$. Die m\u00fcssen wir in die Formen f\u00fcr $v_d$ einsetzen, und zwar f\u00fcr $d$.<\/p>\n Wir berechnen also $v_\\textrm{Aufprall}=\\sqrt{{v_B}^2 + 2 b r v_B -2 b(v_A r + \\frac{{v_A}^2}{2b})}$ und mit einfachen Umformungen ergibt das<\/p>\n $$v_\\textrm{Aufprall}=\\sqrt{{v_B}^2-{v_A}^2+2br(v_B-v_A)}$$<\/p>\n Das sind die Werte unseres Problems: In die Formel f\u00fcr $$v_\\textrm{Aufprall}$ eingesetzt ergibt das<\/p>\n $$v_\\textrm{Aufprall}=\\sqrt{\\Big({\\frac{140}{3.6}}\\Big)^2-{\\Big(\\frac{130}{3.6}}\\Big)^2+2\\cdot 10 \\cdot 1\\cdot \\Big(\\frac{140}{3.6}-\\frac{130}{3.6}\\Big)}=16.24$$<\/p>\n In dieser Gleichung sind alle Konstanten in Meter und Sekunden gerechnet, daher ist auch das Ergebnis die Geschwindigkeit in m\/s. $$v_\\textrm{Aufprall}=58.5 \\textrm{km\/h}$$<\/p>\n An dieser Stelle ein Gest\u00e4ndnis: Alle Umformungen dieses Abschnitts kann man mit Papier und Stift durchf\u00fchren. Ich habe mich dabei aber von einem Computeralgebrasystem (Maxima<\/a>) unterst\u00fctzen lassen. Das hilft sehr dabei, eigene Fehler zu erkennen und zu korrigieren, und es geht auch schneller als rein \u201emanuelles\u201c Rechnen. Es gibt meiner Meinung nach keinen wirklichen Grund, solche relativ m\u00fchsamen Umformungen \u201eaus Bestemm\u201c nur mit Papier und Stift durchzuf\u00fchren. Es bleibt genug intellektuelle Leistung, alle Ausdr\u00fccke \u201eper Hand\u201c in eine verst\u00e4ndliche Form zu transformieren.<\/p>\n Die Formel f\u00fcr die Zeit $t_d$ bis zum Erreichen der Strecke $d$ lautet<\/p>\n $$t_d=\\frac{v_0}{b}+r-\\frac{\\sqrt{{v_0}^2 + 2 b r v_0 -2 b d}}{b}$$<\/p>\n Die Formel f\u00fcr die Geschwindigkeit an diesem Punkt lautet<\/p>\n $$ v_d =\\sqrt{{v_0}^2 + 2 b r v_0 -2 b d} $$<\/p>\n ist also etwas einfacher strukturiert.<\/p>\n Der erste Teil der Formel f\u00fcr $t_d$, der Ausdruck $t_{\\textrm{total}}=\\frac{v_0}{b}+r$, gibt die gesamte Anhaltezeit an. Daher ist der zweite Teil, Wenn wir den Film umgekehrt laufen lassen, dann ist das auch die Zeit, die ein Auto braucht, um von Geschwindigkeit $0$ auf Geschwindigkeit Wenn wir Zeiten und Strecken von dem Punkt, wo das Auto stehen bleibt, zur\u00fcck rechnen, und diese Werte $t_{\\textrm{Rest}}$, $v_{\\textrm{Rest}}$ und $d_{\\textrm{Rest}}$ nennen, dann gilt<\/p>\n $s_{\\textrm{Rest}}=s_{\\textrm{total}}-d$ Da $s_{\\textrm{Rest}}=t_{\\textrm{Rest}}\\frac{0+b t_\\textrm{Rest}}{2}=t_{\\textrm{Rest}}^2\\frac{b}{2}$ gilt, git auch Wenn wir jetzt $s_{\\textrm{Rest}}=v_0 r+\\frac{{v_0}^2}{2b}-d$ in die letzte Gleichung einsetzen, dann erhalten wir Da $v_d=v_\\textrm{Rest}$ haben wir auf eine etwas andere Art die Formel f\u00fcr die Geschwindigkeit des Autos nach einer Fahrtstrecke $d$ (mit Bremsung) abgeleitet:<\/p>\n $$v_d=\\sqrt{{v_0}^2+2b r v_0 -2 b d}$$<\/p>\n Die Ableitung war von den Umformungen her betrachtet etwas einfacher, daf\u00fcr sind die \u00dcberlegungen, die zur Ableitung f\u00fchren, etwas komplizierter, weil wir nicht mit der gesuchten Strecke $d$ sondern mit der Reststrecke $v_0 r + \\frac{{v_0}^2}{2b} – d$ argumentieren.<\/p>\n \u00dcberlegungen \u00fcber Modifikationen des zu modellierenden Sachverhalts k\u00f6nnen also die algebraische Manipulation etwas einfacher machen.<\/p>\n Die ganzen Berechnung mit Computeralgebrasystemen gibts als entsprechende Notebooks zum Herunterladen<\/p>\n Um sich die Wirkung der Aufprallgeschwindigkeit vorzustellen kann es hilfreich sein, zu wissen, bei welcher Fallh\u00f6he ein Gegenstand mit dieser Geschwindigkeit am Boden auftreffen w\u00fcrde.<\/p>\n Wir brauchen also eine Formel, die aus der Geschwindigkeit jene H\u00f6he errechnet, aus der ein fallender Gegenstand diese Geschwindigkeit erreiche w\u00fcrde.<\/p>\n Die klassischen Formeln f\u00fcr den freien Fall lauten<\/p>\n $$s(t)=\\frac{g}{2}t^2$$<\/p>\n und <\/p>\n $$v(t)=g t$$<\/p>\n Dabei ist $g$ die Fallbeschleunigung von 9.81 m\/s\u00b2, $t$ die Fallzeit, $s(t)$ die Fallh\u00f6he zur Zeit $t$ und $v(t$) die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t.<\/p>\n Da $v(t)=gt$ ist, ist auch $t=\\frac{v(t)}{g}$. Setzen wir das in die Formel f\u00fcr die Fallstrecke ein, dann erhalten wir $s(t)=\\frac{g}{2}(\\frac{v(t)}{g})^2$, und das gilt f\u00fcr jeden beliebigen Zeitpunkt t. Diese Formel k\u00f6nnen wir noch ein bisschen vereinfachen, zu $s(t)=\\frac{1}{2g}v(t)^2$.<\/p>\n Da diese Formel f\u00fcr jeden Zeitpunkt t gilt k\u00f6nnen wir auch so formulieren.<\/p>\n Ein fallender Gegenstand erreicht die Geschwindigkeit $v$ bei einer Fallh\u00f6he von $\\frac{v^2}{2g}$.<\/p>\n In unserem Beispiel (Aufprallgeschwindigkeit 16.2 m\/s) ergibt das eine Fallh\u00f6he von 13.4 m, das entspricht einem Fall vom Fensterbrett im 5. Stock eines Wohnhauses.<\/p>\n Die Reaktionszeit liegt in der Regel zwischen 0.5 Sekunden und 2 Sekunden. Das findet man in vielen Quellen, Die Bremsverz\u00f6gerung kann man aus Messungen von Bremsstrecken ermitteln.<\/p>\n Der deutsche Automobilclub ADAC<\/a> f\u00fchr immer wieder Messungen zu Bremsstrecken verschiedener Autotypen durch. Da die Formel f\u00fcr den Zusammenhang zwischen Bremsstrecke und Bremsverz\u00f6gerung $s=\\frac{v^2}{2b}$ lautet kann man aus den gemessenen Bremsstrecken (bei 100 km\/h, also 27.8 m\/s) die Verz\u00f6gerung als $b=\\frac{27.8^2}{2s} \\approx \\frac{384}{s}$ Der hier verwendete Wert von 10 m\/s^2 geht also von ziemlich guten, aber nicht restlos optimalen Stra\u00dfenbedingungen aus.<\/p>\n Diese Werte zeigen auch, dass die in vielen Fahrschulen und Schulb\u00fcchern verwendete Formel f\u00fcr den Bremsweg $\\frac{v^2}{100}$ (wobei $v$ in Rechnet man die 100 km\/h in m\/s um, so erh\u00e4lt man 27.8 m\/s und in unsere Formel f\u00fcr den Bremswert eingesetzt ergibt das einen Wert von Ich habe diesen Artikel aus mehreren Gr\u00fcnden geschrieben.<\/p>\nEin Auto<\/code>.<\/p>\nv(t) m\/s<\/code> wird die Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt berechnet. Sie betr\u00e4gt zun\u00e4chst eine Sekunde lang die Fahrgeschwindigkeit und nimmt dann jede Zehntelsekunde um 1 m\/s beziehungsweise 3.6 km\/h ab. (Die Geschwindigkeit in km\/h steht in der letzten Spalte).<\/p>\ns(t) m<\/code> berechnen wir den bis zum jeweiligen Zeitpunkt zur\u00fcckgelegten Weg. Dazu berechnen wir die mittlere Geschwindigkeit aus der Geschwindigkeit zum aktuellen und zum unmittelbar vorhergehenden Zeitpunkt (aus der Zeile dar\u00fcber) und multiplizieren diese mit dem Zeitintervall (ergibt mit unseren Werten den in der gerade verstrichenen Zehntelsekunde zur\u00fcckgelegten Weg) und addieren es zum Gesamtweg aus der Zeile dar\u00fcber, also dem bis vor einer Zehntelsekunde zur\u00fcckgelegten Weg.<\/p>\nLOOKUP<\/code>-Funktion.<\/p>\nLOOKUP<\/code>. Sie ben\u00f6tigt 3 Inputs:<\/p>\n\n
LOOKUP<\/code>-Funktion k\u00f6nnen wir berechnen, welche Geschwindigkeit das Fahrzeug nach welcher Strecke hat.
\nWir m\u00fcssen dazu nur die Strecke in der Spalte mit allen Streckenwerten suchen. Die Geschwindigkeit, die rechts daneben steht,
\nist der gesucht Wert.<\/p>\nLOOKUP<\/code>-Funktion
\neinfach den letzten Wert davor, sie liefert also einen geringf\u00fcgig zu kleinen Wert. In unserer Tabelle (die ist ja in Zehntelsekunden getaktet) \u00e4ndert sich die Geschwindigkeit von Zeile zu Zeile um h\u00f6chstens 3.6 km\/h; um diesen Wert kann unser Ergebnis also ungenau sein.<\/p>\nBremsen<\/code> unserer Arbeitsmappe berechnen wir dieselbe Tabelle f\u00fcr 2 Autos im Hunderstelsekundentakt.
\nAus der Tabelle f\u00fcr das Auto A k\u00f6nnen wir die gesamte Anhaltestrecke f\u00fcr dieses Auto ablesen, es ist einfach der gr\u00f6\u00dfte Wert
\naus der Streckenspalte dieses Autos. Mit der LOOKUP<\/code>-Funktion suchen wir in der Tabelle f\u00fcr Auto B die Zeile, in der die Strecke
\nso gro\u00df ist wie der Anhalteweg von Auto A und in dieser Zeile steht dann rechts daneben der Geschwindigkeit, die das Auto B an dieser Stelle hat.<\/p>\n
\nauf km\/h genau.<\/p>\n
\nin verschiedenen Szenarien berechnen.<\/p>\n
\nWir haben stattdessen den gesamten Zeitraum in kleine Zeitabschnitte unterteilt und berechnet, wie sich Strecken und Geschwindigkeiten
\nvon einem Intervall zum n\u00e4chsten \u00e4ndern. Wir sind also konzeptuell sehr nahe am Grundverst\u00e4ndnis von Geschwindigkeit geblieben.<\/p>\n
\nIn der Tabelle haben wir auch die ganze Zeit ein umfangreiches Protokoll des Ablaufs vor Augen.
\nWir sehen Zahlen, und damit Gr\u00f6\u00dfenordnungen, die Probleml\u00f6sung \u201eversteckt\u201c sich nicht hinter Formeln.
\nAu\u00dferdem ben\u00f6tigt diese Methode keine algebraische \u201eHandfertigkeit\u201c im zur Umformung von Formeln und Gleichungen
\nund ist damit wohl vielen am Problem Interessierten leichter zug\u00e4nglich.<\/p>\n
\nder einzige gangbare Weg war. Den wollen wir uns jetzt genauer ansehen.<\/p>\nBerechnung mit algebraischen Formeln (klassische Schulmathematik)<\/h2>\n
\nDer Fahrer bet\u00e4tigt die Bremse, allerdings mit einer Verz\u00f6gerung von $r$ Sekunden (diese Zeit hei\u00dft Reaktionszeit).
\nAb dem Zeitpunkt der Bremsung verringert sich die Geschwindigkeit des Autos um $b$ m\/s\u00b2.<\/p>\n
\n\\begin{cases}
\nv_0 & \\textrm{ f\u00fcr } t \\le r \\\\
\nv_0-b(t-r) & \\textrm{ f\u00fcr } t \\gt r
\n\\end{cases}
\n$$<\/p>\n
\nbetr\u00e4gt die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ und die Endgeschwindigkeit $v_0-b(t-r)$. Die mittlere Geschwindigkeit in diesem Intervall betr\u00e4gt
\ndaher $\\frac{v_0+(v_0-(t-r)b)}{2}=v_0-(t-r)\\frac{b}{2}$ und daher betr\u00e4gt die in diesem Zeitintervall zur\u00fcckgelegte Strecke
\n$(v_0-(t-r)\\frac{b}{2})(t-r)$<\/p>\n
\n\\begin{cases}
\nv_0 t & \\textrm{ f\u00fcr } t \\le r \\\\
\nv_0 r + (v_0-\\frac{b}{2}(t-r))(t-r) & \\textrm{ f\u00fcr } t > r
\n\\end{cases}
\n$$<\/p>\n
\nDie Bremszeit ist die Zeit, w\u00e4hrend der sich die Geschwindigkeit von $v_0$ auf $0$ verringert. Da die Geschwindigkeit pro Sekunde um $b$
\nverringert wird, betr\u00e4gt diese Zeit $\\frac{v_0}{b}$.<\/p>\n
\nBremszeit: $\\frac{v_0}{b}$
\nAnhaltezeit: $r+\\frac{v_0}{b}$<\/p>\n
\ndie Strecke, die das Auto vom Wahrnehmen des Hindernisses bis zum Stillstand zur\u00fccklegt (wenn das Hindernis mindestens so weit weg ist).<\/p>\n
\n$\\frac{v_0}{b}\\frac{v_0}{2}=\\frac{{v_0}^2}{2b}$<\/p>\n
\nAnhalteweg: $v_0 r + \\frac{{v_0}^2}{2b}$<\/p>\n
\nWir l\u00f6sen die Gleichtung $s(t)=d$ f\u00fcr $t$ und setzen die L\u00f6sung $t_d$, f\u00fcr die $s(t_d)=d$ gilt, in die Formel f\u00fcr die Geschwindigkeit ein,
\nberechnen also $v(t_d)$.<\/p>\n
\nWenn die Strecke noch innerhalb des Reaktionswegs liegt $d \\le v_0 r$, dann ist die Geschwindigkeit an der Stelle $d$ $v_0$.
\nAndernfalls m\u00fcssen wir zun\u00e4chst die Gleichung<\/p>\n
\nund nach Umformung
\n$v(t_d)=\\sqrt{{v_0}^2 + 2 b r v_0 -2 b d}$<\/p>\n
\nschnellere Auto an der Stelle, an der das langsamerer Auto stehen bleibt?<\/p>\n
\n$v_A=130\\frac{\\textrm{km}}{\\textrm{h}}=\\frac{130}{3.6}\\frac{\\textrm{m}}{\\textrm{s}}=
\n36.1\\frac{\\textrm{m}}{\\textrm{s}}$
\n$v_B=140\\frac{\\textrm{km}}{\\textrm{h}}=\\frac{140}{3.6}\\frac{\\textrm{m}}{\\textrm{s}}=
\n38.9\\frac{\\textrm{m}}{\\textrm{s}}$
\n$r=1\\textrm{s}$
\n$b=10\\frac{\\textrm{m}}{\\textrm{s}^2}=(3.6\\cdot 10)\\frac{\\frac{\\textrm{km}}{\\textrm{h}}}{s}=
\n36\\frac{\\frac{\\textrm{km}}{\\textrm{h}}}{s}$<\/p>\n
\nUngerechnet in km\/h ergibt das<\/p>\nMathematische Trickserei<\/h2>\n
\n$\\frac{\\sqrt{{v_0}^2 + 2 b r v_0 -2 b d}}{b}$, die Zeit, die das Auto ben\u00f6tigt, von der Geschwindigkeit $v_d$ auf Geschwindigkeit $0$ abzubremsen.<\/p>\n
\n$v_d$ zu beschleunigen.<\/p>\n
\n$t_{\\textrm{Rest}}=t_{\\textrm{total}}-t_d$
\n$v_{\\textrm{Rest}}=v_d$<\/p>\n
\n$t_{\\textrm{Rest}}=\\sqrt{\\frac{2s_{\\textrm{Rest}}}{b}}$ und ebenso gilt
\n$v_{\\textrm{Rest}}=bt_{\\textrm{Rest}}=b\\sqrt{\\frac{2s_{\\textrm{Rest}}}{b}}$<\/p>\n
\n$v_{\\textrm{Rest}}=bt_{\\textrm{Rest}}=b\\sqrt{\\frac{2(v_0 r+\\frac{{v_0}^2}{2b}-d)}{b}}=\\sqrt{2 b (v_0 r+\\frac{{v_0}^2}{2b}-d)}$
\nund nach weiterer Umformung
\n$v_{\\textrm{Rest}}=\\sqrt{{v_0}^2+2b r v_0 -2 b d}$<\/p>\n\n
\u00c4quivalente Fallh\u00f6he<\/h2>\n
Woher kommen die Werte f\u00fcr Bremsverz\u00f6gerung und Reaktionszeit?<\/h2>\n
\nz.b hier in der Wikipedia<\/a>. Dort liest man auch, dass die Bezeichnung Reaktionszeit eigentlich ein bisschen irref\u00fchrend ist, weil die Zeitspanne auch die Verz\u00f6gerung bis zum Ansprechen der Bremse umfasst.<\/p>\n
\nErgebnisse findet man dann auf der Website, zum Beispiel hier<\/a>.<\/p>\n
\nDie vom ADAC gemessenen Bremsstrecken variieren zwischen 32 und 35 m. Sie wurden bei den bestm\u00f6glichen Stra\u00dfenbedingungen gemessen.
\nMit diesen Werten erh\u00e4lt man f\u00fcr $b$ Werte zwischen 11 und 12 m\/s\u00b2.<\/p>\n
\nkm\/h angegeben wird) nicht sehr praxisnahe ist. Diese Formel ergibt bei 100 km\/h eine Bremsstrecke von 100 m.<\/p>\n
\n3.84 m\/s\u00b2. Das ist um einiges kleiner als die real gemessenen 11 bis 12 m\/s\u00b2.<\/p>\nGrunds\u00e4tzliche und didaktische \u00dcberlegungen<\/h2>\n
\n
\ndiese neue Regelung Bremswege bei Vollbremsungen verl\u00e4ngern. Die Frage, die der Artikel beantwortet: Wie schnell ist das schnellere Auto dort, wo das langsamere schon stehen bleibt, wurde aber in diesen Artikeln nicht behandelt.<\/li>\n
\nreicht v\u00f6llig aus, das Problem zu l\u00f6sen, es ist keinerlei Spezialsoftware notwendig.<\/li>\n