Die klassische mathematische L\u00f6sung<\/p>\n
Wenn man genau wissen will, wie lange es unter den originalen Bedingungen dauert, muss man zu h\u00f6herer Mathematik (Differentialgleichungen) Zuflucht nehmen.
\nJetzt wirs also mathematisch anspruchsvoller!
\nDie Geschwindigkeit der Ameise setzt sich aus 2 Komponenten zusammen: 1 cm\/s kommt vom Krabbeln, dazu kommt aber noch, dass die Ameise beim Dehnen des Gummibandes mitgenommen wird.
\nWenn die Ameise also schon 1\/4 des Bandes absolviert hat, ist ihre \u201eBandgeschwindigkeit“ 1\/4 davon.
\nDas Band wird mit 100 cm\/s gedehnt, hat also zum Zeitpunkt $t$ die L\u00e4nge $100+100 t=100(1+t)$.
\nIst die Ameise zum Zeitpunkt t an der Stelle x(t), dann hat sie die Bandgeschwindigkeit $100\\frac{x(t)}{100(1+t)}=\\frac{x(t)}{1+t}$
\nDie Geschwindigkeit ist die erste Ableitung des Ortsfunktion x(t), also gilt $x'(t)=1+\\frac{x(t)}{1+t}$.<\/p>\n
So etwas l\u00f6st man heutzutage mit einem Computer-Algebra-Programm, zum Beispiel mit dem kostenfrei verf\u00fcgbaren Maxima (bzw. wxMaxima), erh\u00e4ltlich von maxima.sourceforge.net\/<\/a>.<\/p>\n Hier ist der Code zur L\u00f6sung:<\/p>\n Wir erhalten die L\u00f6sung $x(t)=(t+1)\\log(t+1)$<\/p>\n Diese L\u00f6sung der Differentialgleichung ist noch nicht die Antwort auf unser Problem, Wir \u00fcberpr\u00fcfen also noch, ob es einen Zeipunkt gibt, an dem die Wegstrecke der Amseise Wir erhalten die L\u00f6sungen<\/p>\n Es dauert also $e^{100}-1$=2.6*10^47 Sekunden, dann hat die Ameise das Bandende erreicht. Und wie lange ist das Band dann? Rechnet man $100(1+t)$ f\u00fcr $t=e^{100}$ aus, dann ergibt das 2.6*10^45 cm = 2.6*10^40 km. Wenn die Ameise also das Ende des Gummibands erreicht, dann ist das Gummiband so lange wie 2.8*10^28 mal der Milchstra\u00dfendurchmesser.<\/p>\n Dauert also, und braucht ziemlich viel Platz.<\/p>\n Meine \u00dcberlegungen sind die Aufbereitung dieses Artikels in der englischen Wikipedia<\/a>.<\/p>\n Diese Aufgabe hat \u00fcbrigens eine Parallele in der Astrophysik: Man ersetze die Ameise durch ein Photon. Wenn sich das Universum mit fester Geschwindigkeit ausdehnt, dann erreicht uns Licht auch von den entferntesten Galaxien. Wenn die Ausdehnungsgeschwindigkeit zunimmt, dann kann es sein, dass es Galaxien gibt, deren Licht uns nie erreicht.<\/p>\n Nachtrag f\u00fcr Nerds: Es gibt auch eine Excel-Arbeitsmappe<\/a>, in der man mit der Bandgeschwindigkeit experimentieren kann.<\/p>\n\r\nsol : ode2('diff(x,t)=1+x\/(1+t),x,t); \r\nic1(sol,t=0,x=0);\r\n<\/pre>\n
\nsie gibt ja nur an, wie weit die Ameise zur Zeit t gekommen ist.<\/p>\n
\nmit der Bandl\u00e4nge gleich ist. Das machen wir nat\u00fcrlich wieder mit Maxima.
\nHier ist der Code zur L\u00f6sung:<\/p>\n\r\nsolve((t+1)*log(t+1)=100*(1+t),t);\r\n<\/pre>\n
\r\n[t=%e^100-1,t=-1]\r\n<\/pre>\n
\nWie lange ist das in anderen Zeiteinheiten?
\n1 Jahr hat 3.2*10^7 Sekunden, also dauert das 8.1*10^35 Jahre.
\nDas Alter des Universums wird derzeit auf 1.4*10^10 Jahre gesch\u00e4tzt, also braucht die Ameise 5.8*10^25 mal das Alter des Universums.<\/p>\n
\nDer Durchmesser der Milchstra\u00dfe ist ungef\u00e4hr 10^5 Lichtjahre oder 9.6*10^12 km.<\/p>\n
\nDer folgende QR-Code f\u00fchrt zu einer Website, die den Code aus dem Beitrag ausf\u00fchrt.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/files\/2018\/04\/2018-04-07_15-47-02.png\")
<\/a><\/p>\n