{"id":2477,"date":"2018-03-23T11:41:22","date_gmt":"2018-03-23T10:41:22","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/?p=2477"},"modified":"2018-03-23T18:36:34","modified_gmt":"2018-03-23T17:36:34","slug":"ein-bisschen-mathematik-gesucht-kuerzestes-strassennetz","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/2018\/03\/23\/ein-bisschen-mathematik-gesucht-kuerzestes-strassennetz\/","title":{"rendered":"Ein bisschen Mathematik. Gesucht: K\u00fcrzestes Stra\u00dfennetz"},"content":{"rendered":"<p>In meinen nahezu t\u00e4glich erscheinenden #mathepuzzle(s) auf Twitter gabs gestern folgende Aufgabe (leicht modifiziert):<\/p>\n<p>4 Orte bilden die Eckpunkte eines Quadrats.<br \/>\nDie Gegend ist vollkommen flach und nicht bewachsen (stellen sie sich zum Beispiel eine Gegend in Arizona vor).<br \/>\nEs soll eine Stra\u00dfennetz angelegt werden, auf dem man von jedem Ort aus<br \/>\njeden anderen erreichen kann. Wie kann man das so machen, dass die<br \/>\nL\u00e4nge aller Stra\u00dfen addiert m\u00f6glichst klein ist?<\/p>\n<p>Eine von einigen meiner Follower vorgeschlagene L\u00f6sung ist ein X:<\/p>\n<p><iframe scrolling=\"no\" title=\"Shortest network\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/Rd2JZgjC\/width\/464\/height\/444\/border\/888888\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/true\/rc\/false\/ld\/false\/sdz\/true\/ctl\/false\" width=\"464px\" height=\"444px\" style=\"border:0px;\"> <\/iframe><\/p>\n<p>Diese Grafik ist dynamisch, man kann den gr\u00fcnen Punkt mit der Maus bewegen. Wenn man das tut, dann kommt ein roter Punkt zum Vorschein. Den kann man auch bewegen. <\/p>\n<p>Wenn man die beiden Punkte verschiebt, dann stellt man fest, dass es bessere L\u00f6sungen des Problem gibt, insbesondere diese:<\/p>\n<p><iframe scrolling=\"no\" title=\"Shortest network (2)\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/DDZudKCD\/width\/464\/height\/444\/border\/888888\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/true\/rc\/false\/ld\/false\/sdz\/true\/ctl\/false\" width=\"464px\" height=\"444px\" style=\"border:0px;\"> <\/iframe><\/p>\n<p>Auch hier kann man den roten und den gr\u00fcnen Punkt verschieben.<br \/>\nKlickt man auf den gerundeten Doppelpfeil in der oberen rechten Ecke, dann kann man den Ausgangszustand der Grafik(en) wiederherstellen.<\/p>\n<p>Wie k\u00f6nnen wir nachweisen, dass das die L\u00f6sung f\u00fcr das k\u00fcrzeste Stra\u00dfennetz ist?<\/p>\n<p>Es ist aufw\u00e4ndig und anspruchsvoll zu zeigen, dass die beste L\u00f6sung zwei \u201eZwischenpunkte\u201c haben muss. Nehmen wir das einmal als gesichert an. Der Rest der \u00dcberlegungen geht so:<br \/>\nWir zeichnen Ellipsen durch je 2 Eckpunkte und einen Zwischenpunkt.<\/p>\n<p><iframe scrolling=\"no\" title=\"Shortest network (3)\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/ahcjS8xp\/width\/464\/height\/444\/border\/888888\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/true\/rc\/false\/ld\/false\/sdz\/true\/ctl\/false\" width=\"464px\" height=\"444px\" style=\"border:0px;\"> <\/iframe><\/p>\n<p>Bewegt man den roten oder den gr\u00fcnen Punkt auf seiner Ellipse, dann bleibt die Summe der Abst\u00e4nde von seinen beiden Quadrateckpunkten gleich. Der Abstand zum andern Zwischenpunkt \u00e4ndert sich. Am kleinsten wird der Abstand zwischen den beiden Zwischenpunkten, wenn beide auf der senkrechten Mittellinie des (gedachten) Quadrats liegen.<br \/>\nDas gilt auch dann, wenn die Ellipsen verschieden gro\u00df sind, wenn also der rote Punkt von seinen beiden Eckpunkten in Summe nicht gleich weit entfernt ist wie der gr\u00fcne Punkt von seinen beiden Eckpunkten.<\/p>\n<p>Jetzt f\u00fcgen wir noch einen Hilfspunkt ein<\/p>\n<p><iframe scrolling=\"no\" title=\"Shortest network (5)\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/NTRBm6B7\/width\/464\/height\/444\/border\/888888\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/true\/rc\/false\/ld\/false\/sdz\/true\/ctl\/false\" width=\"464px\" height=\"444px\" style=\"border:0px;\"> <\/iframe><\/p>\n<p>und berechnen die Summe der Wegstrecken im oberen System (oranger Punkt, roter Punkt, zwei blaue Punkte) und im unteren System (oranger Punkt, gr\u00fcner Punkt, zwei blaue Punkte) <\/p>\n<p>Wenn eines der beiden Teilsysteme eine kleinere Wegstrecke als die andere ergibt, dann kann man das andere System so \u00e4ndern, dass sie dieselbe Streckensumme ergibt. Man muss dazu nur den Zwischenpunkt dieses Systems so verschieben, dass er das Spiegelbild des \u201ebesseren\u201c Punktes um die waagrechte Mittelachse des Quadrats ist.<\/p>\n<p>Zwischenbilanz: wenn wir das untere System (oranger Punkt, gr\u00fcner Punkt, zwei blaue Punkte) durch Verschieben des gr\u00fcnen Punkts so einstellen, dass es die kleinste Streckensumme ergibt, dann haben wir auch die beste L\u00f6sung f\u00fcr das Gesamtsystem gefunden, weil wir ja den besten roten Punkt durch Spiegelung des besten gr\u00fcnen Punkts erhalten.<\/p>\n<p>Au\u00dferdem wissen wir schon, dass der beste gr\u00fcne Punkt auf der senkrechten Mittelachse des Quadrats liegen muss.<\/p>\n<p>Das ge\u00e4nderte Problem, das wir l\u00f6sen m\u00fcssen, sieht also so aus:<\/p>\n<p><iframe scrolling=\"no\" title=\"Shortest network (6)\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/xdQhCbeM\/width\/464\/height\/290\/border\/888888\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/true\/rc\/false\/ld\/false\/sdz\/true\/ctl\/false\" width=\"464px\" height=\"290px\" style=\"border:0px;\"> <\/iframe><\/p>\n<p>Bestimme $x$ so, dass die Summe der 3 Wegstrecken kleinstm\u00f6glich wird. Wir sehen in der Grafik zwei rechtwinkelige Dreiecke, daher ist die Summe der 3 Wegstrecken $ \\sqrt{(\\frac{1}{2})^2+x^2} + \\sqrt{(\\frac{1}{2})^2+x^2} + (1-x) = 2\\sqrt{(\\frac{1}{2})^2+x^2} + (\\frac{1}{2}-x)$<\/p>\n<p>Das ist eine klassische Extremwertaufgabe. Die kann man ganz altmodisch mit Papier und Stift l\u00f6sen. Man muss dazu die erste Ableitung bilden, die gleich 0 setzen und diese Gleichung l\u00f6sen.<\/p>\n<p>Man kann aber auch zur Website <a href=\"http:\/\/www.wolframalpha.com\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">Wolfram Alpha<\/a>  gehen und dort die Aufgabe <\/p>\n<p><code>solve derivative of 2*sqrt((1\/2)^2+x^2)+(1\/2)-x=0 for x<\/code><\/p>\n<p>eingeben und erh\u00e4lt die L\u00f6sung $x=\\frac{1}{2\\sqrt{3}}$<\/p>\n<p>In der Grafik, in der wir genau diese L\u00f6sung einzeichnen, markieren wir ein rechtwinkeliges Dreieck:<\/p>\n<p><iframe scrolling=\"no\" title=\"Shortest network (7)\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/mv2Jjrd7\/width\/464\/height\/290\/border\/888888\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/true\/rc\/false\/ld\/false\/sdz\/true\/ctl\/false\" width=\"464px\" height=\"290px\" style=\"border:0px;\"> <\/iframe><\/p>\n<p>Weil die Strecke $x$ die L\u00e4nge $\\frac{1}{2\\sqrt{3}}$ und Wegstrecke vom gr\u00fcnen Punkt zum Quadratpunkt rechts unten die L\u00e4nge<br \/>\n$\\sqrt{(\\frac{1}{2})^2+(\\frac{1}{2\\sqrt{3}})^2}=\\frac{1}{\\sqrt{3}}$<br \/>\nhat, ist die Wegstrecke vom gr\u00fcnen Punkt nach rechts unten doppelt so lange wie $x$. Damit ist diese Figur eine halbes gleichseitiges Dreieck, und der Winkel zwischen diesen beiden Strecken 60\u00ba. Damit ist der Winkel zwischen den beiden schr\u00e4gen Wegstrecken 120\u00ba und wir haben gezeigt, wie die L\u00f6sung f\u00fcr das k\u00fcrzeste Stra\u00dfennetzwerk dieser Konfiguration aussieht.<\/p>\n<p>Wie man das Problem mit alter analoger Technik l\u00f6sen kann (Seifenl\u00f6sung) zeigt <a href=\"https:\/\/youtu.be\/dAyDi1aa40E?t=95\">ein YouTube-Video<\/a>, auf das mich mein Twitter-Follower @behackl hingewiesen hat.<\/p>\n<div class=\"tweet_button117\" style=\"float: right; margin-left: 10px;\"><a href=\"http:\/\/twitter.com\/share\" rel=\"nofollow\" class=\"twitter-share-button\" data-url=\"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/2018\/03\/23\/ein-bisschen-mathematik-gesucht-kuerzestes-strassennetz\/\" data-text=\"Ein bisschen Mathematik. 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