{"id":2420,"date":"2018-02-13T11:06:21","date_gmt":"2018-02-13T10:06:21","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/?p=2420"},"modified":"2018-02-13T11:06:21","modified_gmt":"2018-02-13T10:06:21","slug":"warum-das-skalarprodukt-doch-nicht-ganz-ueberfluessig-ist","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/2018\/02\/13\/warum-das-skalarprodukt-doch-nicht-ganz-ueberfluessig-ist\/","title":{"rendered":"Warum das Skalarprodukt doch nicht ganz \u00fcberfl\u00fcssig ist."},"content":{"rendered":"

Armin Wolf schreibt in seinem neu eingerichteten lesenswerten Blog<\/a> dar\u00fcber, warum der Oberstufen-Mathematikunterricht<\/a> in seiner gegenw\u00e4rtigen Form seiner Meinung nach falsch l\u00e4uft. Eins seiner Beispiele lautet:<\/p>\n

\u201eBeachte: Das skalare Produkt zweier Vektoren ist kein Vektor, sondern eine reelle Zahl.\u201c Das steht im \u201eKompendium zur Maturavorbereitung\u201c eines aktuellen Mathe-Schulbuchs. Stimmt ganz sicher, aber wozu muss ein Maturant das nochmal unbedingt wissen?<\/p><\/blockquote>\n

Es gibt ein paar Gr\u00fcnde, das zu wissen. Und wenn der Unterricht diese Gr\u00fcnde nicht vermittelt, dann ist eben das das Problem, aber nicht die Tatsache an sich.<\/p>\n

Das skalare Produkt ist ganz einfach erkl\u00e4rt. Man sieht es auf jeder Billa-, Merkur- oder Hofer-Rechnung: da werden f\u00fcr jeden Posten Mengen mit Preisen pro Einheit multipliziert und diese Gesamtpreise pro Posten addiert, und das ergibt die Gesamtsumme.<\/p>\n

Man hat also zwei gleiche lange Zahlenkolonnen, und man multipliziert die beiden ersten Zahlen miteinander, und die beiden zweiten Zahlen, und die beiden dritte Zahlen und so weiter, und diese Produkte addiert man dann. Diese Summe ist das skalare Produkt. In Tabellenkalkulationsprogrammen (z.B. in Microsoft Excel) gibts die Funktion SUMMENPRODUKT<\/code> (in der englischen Version SUMPRODUCT<\/code>), die macht genau das.
\nZahlenkolonnen sind Vektoren, und daher kann man sagen, dass der Gesamtpreis das skalare Produkt des Preisvektors mit dem Mengenvektor ist.<\/p>\n

Indices (z.B. der Index der Verbraucherpreise) sind auch Produkte von Mengen mit Preisen, man kann sie mathematisch also auch als inneres Produkt verstehen.<\/p>\n

Das skalare Produkt kommt in \u201eanderen mathematischen Gegenden\u201c vor. Vektoren sind ja auch etwas geometrisches. Koordinaten sind klassischer Schulstoff, und Koordinatenvektoren sind dann eben die zusammengefassten Koordinaten. 2-dimensionale und 3-dimensionale Vektoren entsprechen dabei Punkten in der Ebene oder im Raum.
\nIch gehe jetzt einmal davon aus, dass au\u00dfer Streit steht, dass Geometrie und Koordinatengeometrie wesentliche Bildungsinhalte sind, die man nicht aus dem Curriculum streichen sollte.<\/p>\n

Jetzt wirds ein bisschen \u201etechnischer\u201c, weil man das, was kommt, nicht ganz ohne Formeln aufschreiben kann.<\/p>\n

Eine wichtige geometrische Operation ist es, Winkel zwischen Vektoren zu berechnen. Oft stellt sich auch die Frage, ob zwei Vektoren einen rechten Winkel bilden (z.B. auf einem Wohnungsplan). Und da gibts ein sehr einfaches Hilfsmittel: Zwei Vektoren (k\u00f6nnen Zimmerw\u00e4nde beschreiben) bilden dann einen rechten Winkel, wenn ihr skalares Produkt den Wert 0 hat. Das k\u00f6nnen ganz beliebige Vektoren sein, sie m\u00fcssen nicht parallel zu den Koordinatenachsen sein. Und das gilt auf gleiche Weise im 2-dimensionalen wie im 3-dimensionalen! Das innere Produkt hat also Eigenschaften, die in verschiedenen Geometrien (eben und r\u00e4umlich) gleichartig funktionieren. Nicht sofort zu erwartende Analogien in verschiedenen Zusammenh\u00e4ngen zu entdecken und herauszuarbeiten ist eine der wesentlichsten Methoden der Mathematik. <\/p>\n

In der Mathematik schreibt man das dann so auf:
\nWenn $x=(x_1,x_2,…x_n)$ und $y=(y_1,y_2,…y_n)$ zwei Vektoren gleicher L\u00e4nge $n$ sind, dann ist<\/p>\n

$$ x.y=\\sum_{i=1}^{n}x_i y_i $$<\/p>\n

das innere innere Produkt dieser beiden Vektoren.<\/p>\n

Wenn $n=2$ ist, wir also Geometrie in der Ebene betreiben, dann wird daraus<\/p>\n

$$x.y=x_1\\cdot y_1 + x_2\\cdot y_2$$<\/p>\n

Betreibt man r\u00e4umliche Geometrie, dann ist $n=3$ und die Formel lautet<\/p>\n

$$x.y=x_1\\cdot y_1 + x_2\\cdot y_2 + x_3\\cdot y_3$$<\/p>\n

Diese Formeln wirkt vielleicht auf manche Leser(innen)? etwas abschreckend, sie aber bedeutet nichts anderes als das, was wir oben besprochen haben: wir multiplizieren die einander entsprechenden $x$e und die $y$s miteinander und addieren alle diese Produkte. Die Formel ist nur die mathematische Kurzschrift daf\u00fcr.<\/p>\n

Das skalare Produkt ist in der Geometrie aber noch weitaus ergiebiger:
\nWie berechnet man die L\u00e4nge einer Strecke beziehungsweise eines Vektors:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Der Abstand der Punkte in x-Richtung ist 3, in y=Richtung 2. Daher ist der Abstand insgesamt $\\sqrt{3^2+2^2}=\\sqrt{13}$<\/p>\n

Unter dem Wurzelzeichen steht $3\\cdot 3 + 2 \\cdot 2$, also das innere Produkt $(3,2).(3,2)$. Man sagt dann auch das ist das innere Produkt des Vektors $x$ mit sich selbst.<\/p>\n

Anmerkung: Das Produkt eines Objekts mit sich selbst ist in der Mathematik nichts Au\u00dfergew\u00f6hnliches; das Quadrat einer Zahl ist das Produkt einer Zahl mit sich selbst.<\/em><\/p>\n

Das skalare Produkt eines Vektors mit sich selbst ist also das Quadrat seiner L\u00e4nge. Wieder tritt das skalare Produkt in einem neuen Kontext auf.<\/p>\n

Die mathematische Kurzschrift daf\u00fcr geht so ($|x|$ bezeichnet die L\u00e4nge eines Vektors x):<\/p>\n

$$|x|^2=x.x$$<\/p>\n

Es kann aber noch mehr.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Wenn wir den Winkel zwischen den Strecken (oder Vektoren) $AB$ und $AC$ berechnen wollen, dann gilt f\u00fcr diesen Winkel $\\alpha$ <\/p>\n

$$ \\cos(\\alpha ) = \\frac{x.y}{|x||y|}$$<\/p>\n

Das schaut jetzt schon etwas komplizierter aus. Was bedeutet es.<\/p>\n

Auf der rechten Seite der Gleichung stehen 3 skalare Produkte, 2 davon sind aber L\u00e4ngen, also skalare Produkte von Vektoren mit sich selber. <\/p>\n

Will man den Winkel finden, dann braucht man (abgesehen von einigen Ausnahmef\u00e4llen) eine Tabelle oder einen Taschenrechner oder Computer.<\/p>\n

In unserem Fall haben wir daher<\/p>\n

$$\\cos(\\alpha)=\\frac{3\\cdot 1+2 \\cdot 3}{\\sqrt{2^2+3^2}\\sqrt{1^2+3^2}}
\n=\\frac{9}{\\sqrt{13}\\sqrt{10}}=\\frac{9}{\\sqrt{130}}$$<\/p>\n

Numerisch berechnet ergibt das $\\cos(\\alpha)=0.7893$ und $\\alpha=37.87^{\\circ}$<\/p>\n

Das skalare Produkt ist jedenfalls eine Rechenoperation, die in der Mathematik in einigen Gebieten vorkommt, bei denen man nicht gleich sieht, dass es analoge Strukturen gibt. Deswegen verdient es einen eigenen Namen und eine Analyse seiner Eigenschaften.<\/p>\n

Es hei\u00dft auch inneres Produkt.<\/p>\n

Wenn in der Mathematik von einem Produkt die Rede ist, dann wird in der Regel aus 2 Objekten ein drittes, gleichartiges Objekt erzeugt. Das Produkt zweier ganzer Zahlen ist eine ganze Zahl, das Produkt zweier Br\u00fcche ist wieder ein Bruch usw. Beim skalaren Produkt wird aber aus 2 Vektoren (also Zahlenkolonnen) eine einzige Zahl erzeugt. Die Merkregel, die Armin Wolf moniert, ist eine Erinnerungshilfe. Eigentlich sollte man sie gar nicht brauchen, denn wenn man mit Vektoren hantiert, dann verwendet man das Wort \u201eSkalar\u201c, wenn man nur von einer Zahl und nicht von einem Vektor (der aus mehreren Zahlen besteht) spricht.<\/p>\n

Der Name \u201eskalares Produkt\u201c selbst ist also schon ein sehr deutlicher Hinweis darauf, dass das Ergebnis einer Rechenoperation nicht von der gleichen Art wie die Inputs ist.<\/p>\n

Das Problem der Schule besteht m\u00f6glicherweise darin, dass solche Zusammenh\u00e4nge nicht klar genug herausgearbeitet werden und daher statt Verst\u00e4ndnis f\u00fcr Zusammenh\u00e4nge eher das Auswendiglernen einzelner Bezeichnungen und Formeln gef\u00f6rdert und gepr\u00fcft wird.<\/p>\n

Das skalare Produkt spielt nicht nur als \u201eRechenmerkregel\u201c und in der Geometrie eine Rolle, in vielen statistische Verfahren kommen Rechenschritte vor, die man am einfachsten als skalares Produkt anschreiben kann. Und in der Quantenphysik spielt das skalare Produkt in vielen Formeln ebenfalls eine wichtige Rolle.<\/p>\n

Es gibt \u00fcbrigens auch ein anderes Produkt zweier Vektoren, das hei\u00dft Vektorprodukt oder Kreuzprodukt.<\/p>\n

Aber das ist eine andere Geschichte.<\/p>\n

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