{"id":2339,"date":"2018-01-14T01:30:29","date_gmt":"2018-01-14T00:30:29","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/?p=2339"},"modified":"2018-01-14T11:46:12","modified_gmt":"2018-01-14T10:46:12","slug":"nachtrag-zur-130-vs-140-km-h-rechnung","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/2018\/01\/14\/nachtrag-zur-130-vs-140-km-h-rechnung\/","title":{"rendered":"Nachtrag zur 130-vs-140 km\/h-Rechnung"},"content":{"rendered":"

Im gestrigen Blogeintrag<\/a> habe ich als Hilfsmittel Excel verwendet.<\/p>\n

Es muss nicht unbedingt Excel sein, mit anderen Tabellenkalulationsprogrammen (LibreOffice, GoogleSheets, …) gehts auch. <\/p>\n

Ich habe auch geschrieben, dass ich das Beispiel f\u00fcr schulgeeignet halte, allerdings nur mit Tabellenkalkulation.<\/p>\n

Ich m\u00f6chte heute zeigen, wie man das Beispiel in „klassischer“ Art mit algebraischen Formeln rechnen m\u00fcsste.<\/p>\n

Noch einmal das Problem:
\nZwei Autos, das langsamere mit Geschwindigkeit $V_1$, das schnellere mit Geschwindigkeit $V_2$, merken an der selben Stelle, dass sie bremsen m\u00fcssen. Welche Geschwindigkeit hat das schnellere an der Stelle, an der das langsamere stehen bleibt.<\/p>\n

Wir starten mit Parametern:
\n$V_1$ und $V_2$ ist die Geschwindigkeiten.
\nDie Reaktionszeit ist $t_0$.
\nDie Bremsverz\u00f6gerung ist $a$.
\nWir nehmen an, dass Bremsverz\u00f6gerung und Reaktionszeit f\u00fcr beide Fahrer und beide Autos gleich sind.<\/p>\n

Dann ist die Geschwindigkeit des langsameren Autos zum Zeitpunkt $t$ (0 ist der Zeitpunkt, an dem die Fahrer merken, dass sie bremsen m\u00fcssen)
\n$v_1(t)=V_1- a (t-t_0)$
\nGenau genommen gilt die Formel nur solange, bis die Geschwindigkeit 0 betr\u00e4gt.
\nAnalog gilt nat\u00fcrlich f\u00fcr das schneller Auto
\n$v_2(t)=V_2 – a (t-t_0)$<\/p>\n

Die Strecken, die die beiden Autos biz zum Zeitpunkt $t$ zur\u00fcckgelegt haben, sind
\n$s_1(t)=V_1 t – \\frac{a(t-t_0)^2}{2}$
\n$s_2(t)=V_2 t – \\frac{a(t-t_0)^2}{2}$<\/p>\n

Der lineare Term in diesen Formeln ist der Reaktionsweg, der quadratische der Bremsweg, die Summe hei\u00dft Anhalteweg.<\/p>\n

Diese Formeln gelten nur nach Ablauf der Reaktionszeit und bis zum Stillstand des Autos.<\/p>\n

Wann kommt das langsamere Auto zum Stillstand, und welche Strecke hat es bis dahin zur\u00fcckgelegt?
\nAnders gefragt: F\u00fcr welches $t=t_1$ gilt $v_1(t_1)=0$ und wie lang ist dann der Anhalteweg.<\/p>\n

Wir l\u00f6sen dazu
\n$V_1-a (t-t_0)=0$.
\nDie L\u00f6sung ist $t_1=t_0+\\frac{V_1}{a}$
\nDer Anhalteweg ist daher
\n$b_1=s_1(t_1)=V_1 t_0 + \\frac{V_1^2}{2 a}$<\/p>\n

Wann erreicht das schnellere Auto den Anhaltepunkt des langsameren?
\nDazu m\u00fcssen wir folgende Gleichung (f\u00fcr $t$) l\u00f6sen:
\n$s_2(t)=b_1$ oder ausgeschrieben
\n$V_2 t – \\frac{a(t-t_0)^2}{2}=V_1 t_0 + \\frac{V_1^2}{2 a}$<\/p>\n

Das ist nicht mehr ganz einfach, aber da es sich um eine quadratische Gleichung handelt ist es m\u00f6glich. Wir erhalten 2 L\u00f6sungen:
\n$t_2= t_0 + \\frac{V_2}{a} – \\frac{\\sqrt{(v_2-v_1)(2 a t_0 + v_1 + v_2)}}{a}$
\nund
\n$t_2= t_0 + \\frac{V_2}{a} + \\frac{\\sqrt{(v_2-v_1)(2 a t_0 + v_1 + v_2)}}{a}$<\/p>\n

Welche der beiden L\u00f6sung passt zu unserem Problem? Analog zur Rechnung f\u00fcr das langsamere Auto sehen wir, dass das schnelle Auto zum Zeitpunkt $t_0 + \\frac{V_2}{a}$ stehen bleibt.<\/p>\n

Der zweite „L\u00f6sungszeitpunkt“ liegt also nach dem Zeitpunkt, wo auch das schnellere Auto bereits steht, daher k\u00f6nnen wir nur die erste L\u00f6sung verwenden.<\/p>\n

Jetzt m\u00fcssen wir nur noch den Zeitpunkt $t_2$ in die Geschwindigkeitsformel $v_2(t)$ f\u00fcr $t$ einsetzen, dann haben wir die Aufprallgeschwindigkeit.<\/p>\n

$v_2(t_2)=\\sqrt{(V_2-V_1)(2 a t_0 +V_1 + V_2)}$<\/p>\n

All diese Formeln und Gleichungen gehen davon aus, dass wir in einem einheitlichen Ma\u00dfsystem, also Metern (m) und Sekunden (s) rechnen. F\u00fcr praktische Zwecke wollen wir aber die Geschwindigkeiten in km\/h angeben. Wir m\u00fcssen dazu als Geschwindigkeiten von km\/h in m\/s umrechnen.
\nDa eine Stunde 3600 Sekunden hat sind 1 m\/s = 3600 m\/h = 3,6 km\/h und umgekehrt nat\u00fcrlich
\n1 km\/h = 1\/3,6 m\/s.<\/p>\n

Wenn wir jetzt die Reaktionszeit $t_0$ = 0,8 s, die Bremsverz\u00f6gerung
\n$a$ = 7,5 m\/s$^2$, $V_1$=130 km\/h = 36,11 m\/s und $V_2$=140 km\/h = 38,89 m\/s in unsere Formel einsetzen, dann ergibt das eine Aufprallgeschwindigkeit von <\/p>\n

$v_2(t_2)$ = 15,55 m\/s = 55,99 km\/h<\/p>\n

Diese Art der Darstellung ist in gewissem Sinn als abschreckendes Beispiel gedacht.<\/p>\n

Die Umformungen sind „denkaufwendig“ und das Gleichungsl\u00f6sen und Termeinsetzen einfach m\u00fchselig.<\/p>\n

Die Berechnung mit Tabellenkalkulation erscheint mir wesentlich einfacher und didaktisch weitaus ergiebiger.
\nMan hat beim Rechnen mit der Tabellenkalkulation auch immer Zahlen vor Augen, und bei diesen Zahlen hat man auch w\u00e4hrend des Modelliervorgangs eine Vorstellung \u00fcber die Qualit\u00e4t der L\u00f6sung. Modellfehler entdeckt man in der Regel fr\u00fcher, weil man sehen kann, ob die Zahlen mit der Vorstellung von der L\u00f6sung einigerma\u00dfen zusammenpassen.<\/p>\n

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