![\"nover2-1\"](\"http:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/files\/2016\/04\/nover2-1.png\")
<\/a><\/p>\nDer linke untere Teil dieser Tabelle ist leer weil ja beispielsweise C:A dieselbe Diskussion w\u00e4re wie A:C. Wir k\u00f6nnen auch sagen, dass wir nur Diskussionen z\u00e4hlen, bei der die Diskutanten in alphabetischer Reihenfolge angef\u00fchrt werden.<\/p>\n
Die Anzahl der Diskussionen ist nat\u00fcrlich die Zahl jener K\u00e4stchen, in denen eine Paarung steht.<\/p>\n
Wieviele das sind k\u00f6nnen wir auf 2 Arten ermitteln.<\/p>\n
Die erste Spalte ist leer, in der 2. Spalte gibt es 1 besetztes Feld, in der 3. Spalte 2 besetzte Felder, in der 4. Spalte 3 und in der 5. Spalte 4 besetzte Felder.
\nEs gibt also insgesamt 1+2+3+4=10 Zweierdiskussionen.<\/p>\n
Wenn jetzt ein sechster Kandidat dazukommt, dann schaut die Tabelle so aus:<\/p>\n
Es ist also eine 6. Spalte mit 5 Eintr\u00e4gen dazugekommen. <\/p>\n Wenn man wei\u00df, dass es bei 5 Teilnehmern 10 Diskussionen gibt, dann kommen f\u00fcr den 6. Teilnehmer 5 Diskussionen dazu und es gibt daher bei 6 Teilnehmern 15 Diskussionen.<\/p>\n Wir k\u00f6nnen diese Rechnung auch so aufschreiben.<\/p>\n $$1+2+3+4+5=(1+2+3+4)+5=10+5=15$$<\/p>\n Wir k\u00f6nnen in den beiden Tabellen auch eine Struktur der (gr\u00fcn markierten) besetzten Zellen erkennen:<\/p>\n Wenn wir die Anzahl der Zeilen und Spalten der beiden Tabellen jeweils mit $n$ bezeichnen, dann hat $n$ bei der kleineren Tabelle den Wert 5 und bei der gr\u00f6\u00dferen den Wert 6.<\/p>\n Jede der beiden Tabellen hat dann $n\\cdot n=n^2$ Zellen, also $5\\cdot 5=25$ bei der kleineren und $6\\cdot 6=36$ bei der gr\u00f6\u00dferen Tabelle.<\/p>\n Wir m\u00fcssen die gr\u00fcnen Zellen z\u00e4hlen. Wir nehmen also zuerst die orangen Zellen weg, davon gibts $n$, also 5 oder 6 und es bleiben $n^2-n=n\\cdot (n-1)$, also 20 oder 30 Zellen \u00fcbrig. Wir sehen sofort, dass es in beiden Tabellen genau gleich viele rote und gr\u00fcne Zellen gibt. Dieses Rezept funktioniert nat\u00fcrlich nicht nur f\u00fcr $n=5$ und $n=6$ sondern f\u00fcr jede beliebige Anzahl $n$.<\/p>\n Wir haben \u00fcbrigens so ganz nebenbei eine mathematische Formel bewiesen, n\u00e4mlich<\/p>\n $$1+2+\\ldots+(n-1)+n=\\frac{n\\cdot (n+1)}{2}$$<\/p>\n Wenn man die ganz abstrakte Schreibweise f\u00fcr Summen verwenden will, dann schreibt man<\/p>\n $$\\sum_{i=1}^{n}{i}=\\frac{n\\cdot (n+1)}{2}$$<\/p>\n Davon sollte man sich aber nicht abschrecken lassen, es bedeutet genau dasselbe wie die Formel davor.<\/p>\n (Wenn $n$ die Zahl der Kandidaten ist, dann haben wir eigentlich die Formel $1+2+\\ldots+(n-1)=\\frac{n\\cdot (n-1)}{2}$ bewiesen.)<\/p>\n Wir haben das bewiesen, weil wir die Zahl der gr\u00fcnen Zellen auf zwei verschiedene Arten abgez\u00e4hlt haben und die errechneten Werte daher gleich sein m\u00fcssen.<\/p>\n Es gibt einen wichtigen Zweig der Mathematik, der sehr oft mit solchen \u201eAbz\u00e4hltricks\u201c arbeitet, n\u00e4mlich die Kombinatorik.<\/p>\n Diese Formel l\u00e4\u00dft sich auch noch auf eine andere Art beweisen.<\/p>\n Wir schreiben die Zahlen von 1 bis 4 nebeineinder und direkt darunter die Zahlen von 1 bis 4 in umgekehrter Reihenfolge.<\/p>\n Dann ergibt die Summe zweier \u00fcbereinander stehender Zahlen immer 5 und die gesamte Summe der oberen beiden Reihen der Tabelle ist $5\\cdot 4=20$. Die Summer der zweiten Reihe und der ersten Reihe ist aber gleich und daher ist die Summe der ersten Reihe $\\frac{20}{2}=10$.<\/p>\n Ebenso ist die Summe der beiden oberen Reihen in dieser Tabelle $6\\cdot 5=30$ und daher die Summe der ersten Reihe die H\u00e4lfte davon, also $\\frac{6\\cdot 5}{2}=15$.<\/p>\n Wenn wir die Zahlen von 1 bis 100 addieren wollen, dann geht das nat\u00fcrlich auch nach diesem Rezept und ergibt $\\frac{101\\cdot 100}{2}=5050$.<\/p>\n Das hat vor ungef\u00e4hr 230 Jahren schon ein kleiner Volkssch\u00fcler herausgefunden. Warnung: Diese Erkl\u00e4rungen sind noch nicht zu Ende. Rechnen sie mit einem weiteren Blogeintrag, in dem ich erkl\u00e4ren werde, wie man ausrechnet, wieviele Diskussionen es gibt, wenn jede Diskussion 3 oder mehr Teilnehmer haben kann.<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n
\nDas sind die roten und die gr\u00fcnen Zellen zusammen gez\u00e4hlt.<\/p>\n
\nDaher m\u00fcssen wir nur die Zahl der roten + gr\u00fcnen Zellen halbieren und erhalten dann die Zahl der gr\u00fcnen Zellen. Wir berechnen also $\\frac{n\\cdot (n-1)}{2}$ f\u00fcr $n=5$ und $n=6$ aus und erhalten $\\frac{5\\cdot 4}{2}=10$ beziehungsweise $\\frac{6\\cdot 5}{2}=15$.<\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n
\nSein Name war Carl Friedrich Gauss<\/a> und er wurde sp\u00e4ter dann einer der ber\u00fchmtesten und wichtigsten Mathematiker.<\/p>\n
\n<\/em><\/p>\n