{"id":1470,"date":"2015-01-24T20:05:20","date_gmt":"2015-01-24T19:05:20","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/?p=1470"},"modified":"2015-01-24T20:37:17","modified_gmt":"2015-01-24T19:37:17","slug":"was-hat-das-ausrechnen-von-69-mal-81-mit-mathematischer-bildung-zu-tun","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/2015\/01\/24\/was-hat-das-ausrechnen-von-69-mal-81-mit-mathematischer-bildung-zu-tun\/","title":{"rendered":"Was hat das Ausrechnen von 69 mal 81 mit mathematischer Bildung zu tun?"},"content":{"rendered":"<p>Herr Taschner bringt in seinem Artikel <a href=\"http:\/\/diepresse.com\/home\/meinung\/quergeschrieben\/rudolftaschner\/4644052\/Was-69-mal-81-mit-dem-Erhalt-der-Handschrift-zu-tun-hat\"> Was 69 mal 81 mit dem Erhalt der Handschrift zu tun hat<\/a> in der Presse eine verk\u00fcrzte Erkl\u00e4rung, wie man das Produkt 69\u22c581 einfach ausrechnen kann, wenn man das Produkt 70\u22c580 kennt.<br \/>\nEr verwendet dabei die Tatsache, dass ein Vielfaches von 81 durch 9 teilbar sein muss, und dass  ein Produkt von 2 Zahlen mit den Einerstellen 1 und 9 an der Einerstelle eine 9 haben muss. <\/p>\n<p>Er verwendet also einen netten \u201emathematischen Taschenspielertrick&#8220;, der aber tiefergehenden Einsichten in mathematische Strukturen weder erfordert noch vermittelt.<\/p>\n<p>Man kann diese Aufgabe <em>Berechne 69\u22c581 wenn du 70\u22c580 schon kennst<\/em> aber auch dazu verwenden, etwas tiefergehende Einsichten in Operationen mit Zahlen zu vermitteln. Ausgangspunkt ist etwas wohlbekanntes, n\u00e4mlich eine Ein-mal-Eins-Tabelle.<\/p>\n<p><iframe width=\"596\" height=\"551\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" src=\"https:\/\/onedrive.live.com\/embed?cid=495062CF0D0DB8FB&#038;resid=495062CF0D0DB8FB%21894&#038;authkey=AOCZrMmLXJmFjgk&#038;em=2&#038;wdAllowInteractivity=False&#038;Item='Sheet1'!A1%3AM26&#038;wdHideGridlines=True\"><\/iframe><\/p>\n<p>Es ist ganz klar, wie diese Tabelle zu lesen ist: In der Kopfzeile steht die Spaltennummer, in der Kopfspalte steht die Zeilennummer und in jeder Zelle steht das Produkt aus der Zeilennummer und der Spaltennummer. In der Zelle in Zeile 19 und Spalte 11 finden wir daher das Produkt 19\u22c511=209.<\/p>\n<p>Man kann die Tabelle auch folgenderma\u00dfen beschreiben. In jeder Zeile steht in der ersten Spalte (nach der Kopfspalte) die Zeilennummer und bei jedem Schritt nach rechts wird die Zeilennummer einmal addiert.<\/p>\n<p>Gleichartiges gilt f\u00fcr die Spalten: In der ersten Zeile (nach der Kopfzeile) jeder Spalte steht die Spaltennummer, und bei jedem Schritt nach unten wird die Spaltennummer einmal addiert.<\/p>\n<p>Wenn wir daher in einer Zeile einen Schritt nach links gehen, verringert sich das Produkt um die Zeilennummer, und wenn wir in einer Spalte einen Schritt nach oben gehen, dann verringert sich das Produkt um die Spaltennummer.<\/p>\n<p>Wenn wir also mit 20\u22c510=200 starten, dann sehen wir sofort, dass 19\u22c510=20\u22c510-10 ist (wir gehen ja in der Zehnerspalte einen Schritt nach oben). Von 19\u22c510 zu 19\u22c511 ist es ein Schritt nach rechts in der Elferzeile, also wissen wir sofort   19\u22c511=19\u22c510+19. Wir sehen also 19\u22c511=19\u22c510+19=20\u22c510-10+19.<\/p>\n<p>Wenn wir also ausgehend von einem Produkt nach rechts oben gehen, also den ersten Faktor um 1 verringern und den zweiten Faktor um 1 erh\u00f6hen, dann subtrahieren wir den zweiten Faktor (Spaltennummer) und addieren den ersten Faktor weniger 1, (die Zeilennummer der Zeile nach dem Schritt nach oben).<\/p>\n<p>Mit ein paar Klammern zur Zusammenfassung schaut das so aus: 19\u22c511=20\u22c510-10+(20-1)<\/p>\n<p>Diese \u00dcberlegung gelten f\u00fcr alle Zellen der Tabelle. Wenn wir die Zeilennummer mit $z$ und die Spaltennummer mit $s$ bezeichnen, dann gilt $(z-1)\\cdot (s+1)=z\\cdot s &#8211; s + z &#8211; 1$ Das ist die algebraische Schreibweise f\u00fcr das, was wir uns anhand der Struktur der Tabelle \u00fcberlegt haben.<br \/>\nMit diesen \u00dcberlegungen ist es ganz einfach, 69\u22c581 auszurechnen. <\/p>\n<p>70\u22c580=5600, und einen Schritt nach oben und einen Schritt nach rechts in der Tabelle gehen (um 69\u22c581 auszurechnen) hei\u00dft, dass wir 80 subtrahieren und 69 addieren m\u00fcssen. Das ist gleichbedeutend damit, dass wir 11 subtrahieren.<\/p>\n<p>Grunds\u00e4tzliches Verst\u00e4ndnis \u00fcber die Ein-mal-Eins-Tabelle, also \u00fcber den Zusammenhang zwischen Multiplikation und Addition hilfst uns also, abgek\u00fcrzte Rechenverfahren zu finden.<\/p>\n<p>Es gibt dazu noch eine Anekdote aus meinen Lehrveranstaltungen an der Uni.<\/p>\n<p>Das sind Lehrveranstaltungen f\u00fcr angehende Informatiklehrer im 3. bis 5. Semester.<\/p>\n<p>Ich frage da meine Studierenden: Was ist 4\u22c54-3\u22c55, 5\u22c55-4\u22c56, 8\u22c58-7\u22c59.<br \/>\nDie meisten rechnen es aus und wundern sich, dass das Ergebnis immer 1 ist.<br \/>\nGelegentlich passiert das sogar mit Studenten, im Zweitfach Mathematik studieren. Nur ganz selten erkennt jemand sofort, dass das ein Sonderfall der Formel $(a+1)\\cdot (a-1)=a^2-1$ ist. Die Verbindung zwischen der abstrakten algebraischen Formel und simplen Sachverhalten bei numerischem Rechnen ist also nicht in den K\u00f6pfen meiner Studierenden verdrahtet.<\/p>\n<p>Nat\u00fcrlich ist dieses Problem (beispielhaft die Gleichung 3\u22c55=4\u22c54-1) ein Sonderfall unseres \u201eTabellenspaziergangs\u201c. Ausgehend von einer Zelle, in der Zeilennummer und Spaltennummer gleich sind, gehen wir auch bei diesem Produkt einen Schritt nach oben und einen Schritt nach rechts.<\/p>\n<p>Was k\u00f6nnen wir aus diesen \u00dcberlegungen lernen?<\/p>\n<p>Zu glauben, erst in der Formelschreibweise w\u00fcrden mathematische Sachverhalte zu \u201erichtiger Mathematik\u201c ist ein grundlegendes Missverst\u00e4ndnis. Die Formelschreibweise ist oft nur Kurzschrift f\u00fcr Gleichungen, die f\u00fcr alle Zellen einer Tabelle gelten. <\/p>\n<p>Formeln sind genauso wenig \u201eMathematik\u201c wie Notenschrift \u201eMusik\u201c ist, in beiden F\u00e4llen handelt es sich nur um die Verschriftlichung von etwas anderem.<\/p>\n<div class=\"tweet_button131\" style=\"float: right; margin-left: 10px;\"><a href=\"http:\/\/twitter.com\/share\" rel=\"nofollow\" class=\"twitter-share-button\" data-url=\"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/2015\/01\/24\/was-hat-das-ausrechnen-von-69-mal-81-mit-mathematischer-bildung-zu-tun\/\" data-text=\"Was hat das Ausrechnen von 69 mal 81 mit mathematischer Bildung zu tun? - Bildung und Statistik\" data-count=\"vertical\" data-lang=\"de\" data-via=\"neuwirthe\"  data-related=\"\"><\/a><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Herr Taschner bringt in seinem Artikel Was 69 mal 81 mit dem Erhalt der Handschrift zu tun hat in der Presse eine verk\u00fcrzte Erkl\u00e4rung, wie man das Produkt 69\u22c581 einfach ausrechnen kann, wenn man das Produkt 70\u22c580 kennt. Er verwendet dabei die Tatsache, dass ein Vielfaches von 81 durch 9 teilbar sein muss, und dass [&hellip;]<\/p>\n<div class=\"tweet_button131\" style=\"float: right; margin-left: 10px;\"><a href=\"http:\/\/twitter.com\/share\" rel=\"nofollow\" class=\"twitter-share-button\" data-url=\"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/2015\/01\/24\/was-hat-das-ausrechnen-von-69-mal-81-mit-mathematischer-bildung-zu-tun\/\" data-text=\"Was hat das Ausrechnen von 69 mal 81 mit mathematischer Bildung zu tun? - Bildung und Statistik\" data-count=\"vertical\" data-lang=\"de\" data-via=\"neuwirthe\"  data-related=\"\"><\/a><\/div>","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[1,22],"tags":[24,23],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1470"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1470"}],"version-history":[{"count":60,"href":"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1470\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1530,"href":"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1470\/revisions\/1530"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1470"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1470"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.neuwirth.priv.at\/bildungundstatistik\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1470"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}