Steine hochwerfen – auf der Erde und auf dem Mond
Aus Anlaß des Jahrestags der ersten bemannten Mondlandung habe ich auf Twitter folgendes #mathepuzzle veröffentlicht:
Die Schwerkraft auf dem Mond ist 1/6 der Schwerkraft auf der Erde. Man wirft einen Stein mit 20 m/s auf der Erde und dem Mond senkrecht in die Höhe.
Um wieviel länger fliegt der Stein auf dem Mond, bis er wieder am Boden auftrifft, und um wieviel höher fliegt der Stein auf dem Mond?
Ich habe etliche Lösungen zugesandt bekommen, aber alle Lösungen haben Formeln verwendet.
Wie kann man diesem Aufgabe (fast) ohne Formeln lösen?
Zunächst ein paar Begriffsklärungen: Die Schwerkraft misst, um wieviel sich die Geschwindigkeit eines senkrecht frei fallenden Körpers pro Sekunde erhöht oder die Geschwindigkeit eines senkrecht in die Höhe geworfenen Körpers pro Sekunde vermindert.
Nehmen wir etwas vereinfachend die Schwerkraft auf der Erde mit 10 m/s an.
Dann sehen wir sofort, dass der senkrecht in die Höhe geworfene Stein auf der Erde 2 Sekunden braucht, bis er den höchsten Punkt erreicht hat (weil er dann Geschwindigkeit 0 hat und danach nach unten fällt). Insgesamt trifft der Stein auf der Erde also nach 4 Sekunden auf dem Boden auf.
Auf dem Mond wird der Stein beum Aufsteigen pro Sekunde um $\frac{10}{6}$ m/s langamer, er braucht also $\frac{20}{\frac{10}{6}}$ = 12 Sekunden, bis er den höchsten Punkt seiner Flugbahn erreicht.
Nun zur Flughöhe:
Wie hoch steigt der Stein auf der Erde ? Er steigt 2 Sekunden lang und hat am Anfang eine Geschwindigkeit von 20 m/s und am Ende 0 m/s. Die mittlere Geschwindigkeit beträgt also 10 m/s.
Geschwindigkeit $\cdot$ Zeit = Weg, also ist die Steighöhe 2$\cdot$10 = 20 m.
Auf dem Mond dauert das Aufsteigen 12 Sekunden, die mittlere Geschwindigkeit während des Aufsteigens beträgt (wie auf der Erde!) 10 m/s.
Geschwindigkeit $\cdot$ Zeit = Weg, also ist die Steighöhe 12$\cdot$10 = 120 m.
Sowohl die Zeit bis zum Aufschlagen auf dem Boden als auch die Steighöhe sind also auf dem Mond das 6fache im Vergleich zur Erde.